Jak obliczyć różnicę ciągu arytmetycznego?

Różnicę ciągu arytmetycznego oznaczaną przez r oblicza się jako różnicę dwóch kolejnych wyrazów: r = a_n+1 − a_n. Gdy znane są dwa wyrazy o dowolnych numerach, stosuje się wzór r = (a_m − a_n) / (m − n).

Czym jest różnica ciągu arytmetycznego?

Ciąg arytmetyczny ma stałą różnicę między kolejnymi wyrazami. Oznacza to, że od każdego wyrazu do następnego przechodzimy, dodając tę samą liczbę r. Różnica może być dodatnia, ujemna albo równa zero.

Podstawowy wzór ma postać:

r = a_n+1 − a_n

Jeżeli wynik jest taki sam dla każdej pary sąsiednich wyrazów, ciąg jest arytmetyczny. Na przykład dla ciągu 3, 7, 11, 15 różnica wynosi 4, ponieważ każdy kolejny wyraz jest większy od poprzedniego o 4.

Jaką metodę wybrać?

Sposób obliczenia zależy od tego, jakie informacje podano w zadaniu:

Jak obliczyć różnicę krok po kroku?

Dwa wyrazy o dowolnych numerach

Gdy znasz dwa wyrazy, nie muszą one stać obok siebie. Korzystasz ze wzoru:

r = (a_m − a_n) / (m − n)

Wykonaj następujące działania:

1. Zapisz wartości obu wyrazów i ich numery.
2. Odejmij wcześniejszy wyraz od późniejszego.
3. Oblicz różnicę między numerami wyrazów.
4. Podziel pierwszą różnicę przez drugą.

Przykład: czwarty wyraz ciągu wynosi −13, a dziesiąty −43. Zatem:

r = (a₁₀ − a₄) / (10 − 4) = (−43 − (−13)) / 6 = −30 / 6 = −5

Różnica ciągu wynosi −5. Kolejne wyrazy maleją więc o 5.

Wzór ogólny ciągu

Jeśli ciąg jest podany wzorem, oblicz różnicę dwóch sąsiednich wyrazów:

1. W miejsce n wstaw n + 1, aby otrzymać a_n+1.
2. Odejmij od a_n+1 wyrażenie a_n.
3. Uprość wynik.
4. Sprawdź, czy wynik nie zależy od n.

Dla wzoru a_n = 7n + 2 otrzymujemy:

a_n+1 − a_n = [7(n + 1) + 2] − (7n + 2) = 7

Wynik jest stały, więc ciąg jest arytmetyczny, a jego różnica wynosi r = 7.

Dla porównania, jeśli a_n = 2n² + 1, wtedy:

a_n+1 − a_n = 4n + 2

Wynik zależy od n, dlatego taki ciąg nie jest arytmetyczny.

Układ równań

W zadaniach, w których podano kilka warunków dotyczących wyrazów ciągu, zastosuj wzór na n-ty wyraz:

a_n = a₁ + (n − 1)r

Przykład: wiadomo, że a₁ + a₄ = 11 oraz a₇ − a₃ = 20.

Z drugiego warunku:

a₇ − a₃ = (a₁ + 6r) − (a₁ + 2r) = 4r = 20

Stąd:

r = 5

Pierwszy warunek pozwala następnie obliczyć a₁:

a₁ + a₄ = a₁ + (a₁ + 3r) = 2a₁ + 3r = 11

Po podstawieniu r = 5 otrzymujemy a₁ = −2.

Na co uważać podczas obliczeń?

Najczęstsze pomyłki wynikają z niepoprawnego odczytania oznaczeń lub znaków. Sprawdź szczególnie:

• Indeks n jest numerem wyrazu, a a_n oznacza wartość tego wyrazu.
• W wyrażeniu a_n = a₁ + (n − 1)r trzeba użyć n − 1, nie samego n.
• Przy odejmowaniu liczb ujemnych zachowaj nawiasy, na przykład −43 − (−13) = −30.
• Jeśli używasz wzoru z dwoma wyrazami, dziel przez różnicę ich numerów, a nie przez liczbę wyrazów pomiędzy nimi.

Najkrócej: dla sąsiednich wyrazów odejmij poprzedni od następnego, a dla wyrazów o odległych indeksach użyj wzoru r = (a_m − a_n) / (m − n).