Czym jest funkcja kwadratowa? Podstawowe informacje
Funkcja kwadratowa to funkcja, którą można zapisać wzorem f(x) = ax² + bx + c, gdzie a, b i c są liczbami rzeczywistymi, a a ≠ 0. O jej kwadratowym charakterze decyduje najwyższa potęga zmiennej x, która po przekształceniu wzoru wynosi 2.
Czym jest funkcja kwadratowa?
Podstawowa postać funkcji kwadratowej, nazywana postacią ogólną, wygląda tak:
f(x) = ax² + bx + c
Litery a, b i c oznaczają liczby rzeczywiste. Najważniejszy jest warunek a ≠ 0. Współczynnik a stoi przy x² i sprawia, że funkcja ma stopień drugi. Gdyby a było równe zero, składnik ax² zniknąłby, a wzór przyjąłby postać f(x) = bx + c, czyli opis funkcji liniowej, a nie kwadratowej.
Dlaczego x² nie zawsze widać we wzorze?
Funkcja jest kwadratowa nie tylko wtedy, gdy symbol x² występuje w zapisie wprost. Liczy się to, czy wzór można przekształcić do postaci wielomianu stopnia drugiego. Dlatego sam wygląd początkowego zapisu może być mylący.
Rozważmy przykład:
f(x) = (x − 1)(x + 2)
Po wymnożeniu nawiasów otrzymujemy:
f(x) = x² + 2x − x − 2 = x² + x − 2
Najwyższa potęga zmiennej x wynosi 2, więc jest to funkcja kwadratowa. Symbol x² był ukryty w iloczynie dwóch wyrażeń zawierających x.
W przytoczonym pytaniu egzaminacyjnym odpowiedź „musi wystąpić x do kwadratu” była więc niepoprawna. Nie trzeba widzieć x² w każdym zapisie. Wystarczy, że po wykonaniu dozwolonych przekształceń wzór ma postać ax² + bx + c, przy czym a ≠ 0.
Podobnie można rozpoznać funkcję kwadratową w innych zapisach:
- f(x) = (x − 4)², ponieważ po rozwinięciu otrzymujemy x² − 8x + 16.
- f(x) = 2(x − 5)² + 3, ponieważ po rozwinięciu najwyższą potęgą x pozostaje x².
- f(x) = (x + 2)(x + 3), ponieważ po wymnożeniu otrzymujemy x² + 5x + 6.
- f(x) = 4x² + 5, ponieważ już na początku występuje składnik z x².
Odpowiedzi „może wystąpić x” i „może wystąpić liczba stała” opisują pojedyncze możliwości, ale nie stanowią pełnej definicji. W funkcji kwadratowej może wystąpić zarówno wyraz liniowy bx, jak i stała c, jednak decydujący pozostaje niezerowy współczynnik przy x².
Jakie są postacie funkcji kwadratowej?
Ta sama funkcja może być zapisana na kilka równoważnych sposobów. Każda postać eksponuje inne informacje.
| Postać | Wzór | Co ułatwia odczytać? |
|---|---|---|
| Ogólna | f(x) = ax² + bx + c | Współczynniki funkcji i wartość f(0), czyli punkt przecięcia wykresu z osią Oy |
| Kanoniczna | f(x) = a(x − p)² + q | Wierzchołek paraboli o współrzędnych (p, q) oraz kierunek jej ramion |
| Iloczynowa | f(x) = a(x − x₁)(x − x₂) | Miejsca zerowe x₁ i x₂, jeśli funkcja ma rzeczywiste miejsca zerowe |
Postać ogólna, kanoniczna i iloczynowa nie opisują trzech różnych rodzajów funkcji. Są różnymi zapisami tego samego obiektu matematycznego. Na przykład wzór f(x) = (x − 1)(x + 2) jest postacią iloczynową, a po wymnożeniu przyjmuje postać ogólną f(x) = x² + x − 2.
Postać iloczynowa nie zawsze istnieje w zbiorze liczb rzeczywistych. Można jej użyć wtedy, gdy funkcja ma rzeczywiste miejsca zerowe. Do sprawdzania ich liczby często służy wyróżnik, czyli delta, dana wzorem Δ = b² − 4ac.
Jak wygląda wykres funkcji kwadratowej?
Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola. Jej kształt zależy między innymi od współczynnika a. Najważniejsze cechy wykresu to:
- Ramiona paraboli są skierowane w górę, gdy a > 0.
- Ramiona paraboli są skierowane w dół, gdy a < 0.
- Parabola ma wierzchołek, który jest punktem minimum dla a > 0 albo maksimum dla a < 0.
- Postać kanoniczna pozwala bezpośrednio odczytać współrzędne wierzchołka.
Najprostszy sposób rozpoznania funkcji kwadratowej polega więc na sprawdzeniu, czy po przekształceniu jej wzoru najwyższa potęga zmiennej x wynosi 2. Sam fakt, że x² nie jest widoczne na początku, nie wyklucza funkcji kwadratowej.
