Jak obliczyć najmniejszą wspólną wielokrotność?
Najmniejsza wspólna wielokrotność (NWW) to najmniejsza dodatnia liczba podzielna przez wszystkie wskazane liczby. Możesz ją znaleźć przez wypisanie wielokrotności, rozkład na czynniki pierwsze albo wzór z wykorzystaniem NWD. NWW jest szczególnie przydatna przy sprowadzaniu ułamków do wspólnego mianownika.
Czym jest NWW?
Wielokrotnościami liczby 4 są na przykład 4, 8, 12, 16 i 20. Wielokrotnościami liczby 3 są 3, 6, 9, 12 i 15. Liczby 12, 24, 36 oraz kolejne są wspólnymi wielokrotnościami liczb 3 i 4, ale najmniejszą z nich jest 12. Dlatego:
NWW(3, 4) = 12
NWW łatwo pomylić z NWD. NWW jest wspólną wielokrotnością, czyli liczbą podzielną przez dane liczby. NWD, czyli największy wspólny dzielnik, jest największą liczbą, która dzieli dane liczby bez reszty. NWW stosuje się między innymi przy dodawaniu i odejmowaniu ułamków o różnych mianownikach.
Jak obliczyć NWW?
Metoda wypisywania wielokrotności
To najprostszy sposób, szczególnie gdy liczby są małe. Wypisz kilka kolejnych wielokrotności każdej liczby i znajdź pierwszą wartość, która pojawia się na obu listach.
- Wypisz wielokrotności pierwszej liczby.
- Wypisz wielokrotności drugiej liczby.
- Znajdź najmniejszą liczbę występującą na obu listach.
- Zapisz ją jako NWW podanych liczb.
Metoda jest intuicyjna, ale przy większych liczbach może wymagać zapisania wielu wielokrotności.
Metoda rozkładu na czynniki pierwsze
Przy większych liczbach wygodniejszy jest rozkład na czynniki pierwsze. Rozkład polega na zapisaniu liczby jako iloczynu liczb pierwszych. Następnie dla każdego czynnika wybiera się największą liczbę jego wystąpień w którymkolwiek rozkładzie.
Można postępować według następujących zasad:
- Rozłóż każdą liczbę na czynniki pierwsze.
- Zapisz wszystkie czynniki pierwsze, które pojawiają się w rozkładach.
- Dla każdego czynnika wybierz najwyższą potęgę występującą w rozkładzie.
- Pomnóż wybrane czynniki przez siebie.
| Metoda | Zastosowanie | Zalety |
|---|---|---|
| Wypisywanie wielokrotności | Małe liczby i proste zadania | Jest intuicyjna i nie wymaga rozkładu liczb |
| Rozkład na czynniki pierwsze | Większe lub bardziej złożone liczby | Pokazuje dokładnie, skąd wynika wynik |
| Wzór z NWD | Sytuacje, w których znasz NWD | Pozwala szybko obliczyć NWW |
Dla dwóch liczb można użyć także wzoru:
NWW(a, b) = (a · b) / NWD(a, b)
Najpierw trzeba więc wyznaczyć NWD. Przy większych liczbach można do tego wykorzystać algorytm Euklidesa.
Przykład: NWW liczb 12 i 18
Wypisywanie wielokrotności
Najpierw znajdźmy NWW liczb 12 i 18, wypisując ich wielokrotności:
- Wielokrotności liczby 12 to 12, 24, 36, 48, 60, 72 i kolejne.
- Wielokrotności liczby 18 to 18, 36, 54, 72 i kolejne.
- Pierwszą liczbą, która występuje na obu listach, jest 36.
- Zatem NWW(12, 18) = 36.
Rozkład na czynniki pierwsze
Ten sam wynik otrzymamy przez rozkład na czynniki pierwsze:
- Rozłóż liczby: 12 = 2 · 2 · 3, a 18 = 2 · 3 · 3.
- Wybierz największą liczbę wystąpień każdego czynnika. Dla dwójki są to dwa wystąpienia, a dla trójki także dwa.
- Pomnóż wybrane czynniki: 2 · 2 · 3 · 3 = 36.
- Otrzymujesz NWW(12, 18) = 36.
Wzór z NWD
Największy wspólny dzielnik liczb 12 i 18 wynosi 6. Podstawiamy wartości do wzoru:
NWW(12, 18) = (12 · 18) / NWD(12, 18)
NWW(12, 18) = 216 / 6 = 36
Którą metodę wybrać?
Dla małych liczb, zwłaszcza jednocyfrowych, najwygodniejsze jest wypisywanie wielokrotności. Gdy liczby są większe, lepiej zastosować rozkład na czynniki pierwsze albo wzór z NWD. Niezależnie od metody wynik powinien być najmniejszą dodatnią liczbą podzielną przez każdą z podanych liczb.
