Kiedy funkcja jest różniczkowalna w punkcie? Warunki i definicja

Funkcja jest różniczkowalna w punkcie \(x_0\), gdy istnieje skończona granica ilorazu różnicowego przy \(h \to 0\). Jej wartość jest wtedy pochodną funkcji w tym punkcie.

Definicja różniczkowalności w punkcie

Niech funkcja \(f\) będzie określona w otoczeniu punktu \(x_0\). Mówimy, że \(f\) jest różniczkowalna w punkcie \(x_0\), jeżeli istnieje skończona granica

\[
f'(x_0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}.
\]

Wyrażenie znajdujące się pod granicą nazywa się ilorazem różnicowym. Liczba \(f'(x_0)\) jest pochodną funkcji w punkcie \(x_0\). Warunek \(h\to 0\) oznacza, że badamy zachowanie funkcji w dowolnie małym otoczeniu tego punktu, dlatego różniczkowalność jest własnością lokalną.

Geometrycznie istnienie skończonej pochodnej oznacza, że wykres funkcji ma w punkcie \((x_0,f(x_0))\) styczną o skończonym, niepionowym nachyleniu. Sama wartość funkcji w odległych punktach nie ma bezpośredniego znaczenia dla różniczkowalności w \(x_0\).

Ciągłość a różniczkowalność

Różniczkowalność w punkcie zawsze pociąga za sobą ciągłość w tym punkcie. Jeżeli więc funkcja nie jest ciągła w \(x_0\), nie może mieć tam pochodnej. Ciągłość nie wystarcza jednak do różniczkowalności.

Klasycznym przykładem jest funkcja \(f(x)=|x|\). Jest ona ciągła w punkcie \(x_0=0\), ale nie jest tam różniczkowalna. Dla \(h0\) ma wartość \(1\). Granice jednostronne są więc różne, a granica obustronna nie istnieje.

Wykres funkcji ma w zerze ostrze. Ciągłość została zachowana, lecz nie istnieje jedna wspólna styczna opisująca zachowanie wykresu z obu stron punktu.

Jak sprawdzić różniczkowalność w punkcie?

W zadaniach szczególną uwagę należy zwrócić na punkty, w których wzór funkcji zmienia postać, występuje wartość bezwzględna, mianownik może się zerować albo funkcja jest sklejona z kilku wzorów. Postępowanie można uporządkować następująco:

1. Sprawdź ciągłość w punkcie. Jeżeli funkcja nie jest ciągła w \(x_0\), dalsze badanie nie jest potrzebne, ponieważ nie może być różniczkowalna w tym punkcie.
2. Wyznacz lewostronną granicę ilorazu różnicowego. Oblicz \(\displaystyle \lim_{h\to 0^-}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\).
3. Wyznacz prawostronną granicę ilorazu różnicowego. Oblicz \(\displaystyle \lim_{h\to 0^+}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\).
4. Porównaj obie granice. Funkcja jest różniczkowalna w \(x_0\), gdy obie granice są równe i skończone.

Równość granic jednostronnych ilorazu różnicowego jest równoważna istnieniu granicy obustronnej z definicji pochodnej. Sam fakt, że funkcja ma dwa jednostronne zachowania, nie wystarcza do stwierdzenia różniczkowalności. Muszą one prowadzić do tej samej liczby.

W funkcjach zależnych od parametrów najpierw bada się ciągłość, a następnie równość granic jednostronnych ilorazu różnicowego. Ciągłość może dostarczyć jednego warunku, a porównanie tych granic kolejnego. W ten sposób wyznacza się wartości parametrów zapewniające różniczkowalność w punkcie sklejenia.

Wnioski

Różniczkowalność w punkcie oznacza istnienie skończonej granicy ilorazu różnicowego. Jest pojęciem silniejszym niż ciągłość: każda funkcja różniczkowalna w punkcie jest tam ciągła, lecz funkcja ciągła nie musi mieć pochodnej. W praktyce decydujące jest porównanie lewostronnej i prawostronnej granicy ilorazu różnicowego.