Jak sprawdzić, czy funkcja jest malejąca?

Funkcja jest malejąca, gdy wraz ze wzrostem argumentu jej wartości spadają. Możesz sprawdzić to na kilka sposobów: analizując współczynnik kierunkowy funkcji liniowej, korzystając z definicji albo badając znak pochodnej. Najważniejszy zapis brzmi: jeżeli \(x_1f(x_2)\).

Co to znaczy, że funkcja jest malejąca?

Intuicyjnie wykres funkcji malejącej opada, gdy przesuwasz się po nim w prawo. Oznacza to, że większym argumentom \(x\) odpowiadają mniejsze wartości \(f(x)\).

Formalnie funkcja \(f\) jest malejąca w zbiorze lub przedziale, jeżeli dla każdych dwóch argumentów \(x_1\) i \(x_2\) z tego zbioru spełniających warunek \(x_1

\(f(x_1)>f(x_2)\)

Nie należy mylić funkcji malejącej z funkcją, która przyjmuje wartości ujemne. Na przykład funkcja \(f(x)=-x+10\) jest malejąca, mimo że dla części argumentów przyjmuje wartości dodatnie. O jej monotoniczności decyduje sposób zmiany wartości przy wzroście \(x\), a nie ich znak.

Jak sprawdzić monotoniczność funkcji liniowej?

Funkcja liniowa ma postać:

\(f(x)=ax+b\)

Liczba \(a\) to współczynnik kierunkowy. To właśnie jego znak decyduje o monotoniczności funkcji:

• \(a>0\) – funkcja jest rosnąca.
• \(a – funkcja jest malejąca.
• \(a=0\) – funkcja jest stała.

Przykład: \(f(x)=-2x+5\). Współczynnik kierunkowy wynosi \(a=-2\), więc funkcja jest malejąca w całej swojej dziedzinie.

Jeżeli współczynnik zależy od parametru, najpierw zapisujesz warunek \(a

\(f(x)=(m^2-4)x+2\)

współczynnik kierunkowy to \(a=m^2-4\). Funkcja będzie malejąca, gdy:

\(m^2-4

Po rozwiązaniu nierówności otrzymujesz:

\(m\in(-2,2)\)

Zatem funkcja jest malejąca dla parametrów \(m\) należących do przedziału \((-2,2)\). Wyrażenie \(m^2-4\) nie opisuje tutaj wykresu badanej funkcji liniowej, lecz współczynnik kierunkowy zależny od parametru.

Jak sprawdzić funkcję z definicji?

Definicja jest uniwersalna i można ją zastosować także wtedy, gdy funkcja nie jest liniowa. Postępuj według następujących kroków:

1. Wybierz dwa argumenty z rozpatrywanego przedziału i załóż, że \(x_1
2. Oblicz różnicę \(f(x_1)-f(x_2)\).
3. Wykaż, że ta różnica jest większa od zera. Wtedy \(f(x_1)>f(x_2)\), więc funkcja jest malejąca.

Przykład dla funkcji \(f(x)=\frac{1}{x}\) w przedziale \((0,\infty)\). Zakładamy, że \(0

\[
f(x_1)-f(x_2)=\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}
=\frac{x_2-x_1}{x_1x_2}
\]

Licznik \(x_2-x_1\) jest dodatni, ponieważ \(x_1f(x_2)\), dlatego funkcja \(\frac{1}{x}\) jest malejąca w \((0,\infty)\).

Jak badać monotoniczność za pomocą pochodnej?

W przypadku bardziej złożonych funkcji wygodniej obliczyć pochodną. Jej znak informuje o kierunku zmian funkcji w danym przedziale:

• Oblicz pochodną \(f'(x)\).
• Rozwiąż równanie \(f'(x)=0\) oraz uwzględnij punkty, w których pochodna nie istnieje.
• Podziel dziedzinę na przedziały wyznaczone przez otrzymane punkty.
• Sprawdź znak pochodnej na każdym z tych przedziałów i zapisz wniosek.

Jeżeli w całym rozpatrywanym przedziale zachodzi \(f'(x), funkcja jest tam malejąca. Gdy \(f'(x)>0\), funkcja rośnie. Zmiana znaku pochodnej może oznaczać, że funkcja jest malejąca w jednym przedziale, a rosnąca w innym.

Przykład: dla \(f(x)=x^2\) mamy \(f'(x)=2x\). Pochodna jest ujemna dla \(x0\). Funkcja \(x^2\) jest więc malejąca na \((-\infty,0)\) i rosnąca na \((0,\infty)\). Nie jest malejąca w całej dziedzinie.

Którą metodę wybrać?

W praktyce zacznij od rozpoznania typu funkcji. Dla funkcji liniowej wystarczy zbadać znak współczynnika \(a\). Przy prostym wzorze możesz zastosować definicję, a dla funkcji złożonej najczęściej najszybsze będzie badanie znaku pochodnej.