Dla jakiej wartości parametru a funkcja f jest ciągła?

Funkcja \(f\) jest ciągła w punkcie \(x_0\), gdy granica lewostronna, granica prawostronna i wartość funkcji w tym punkcie są sobie równe: \(\lim\limits_{x\to x_0^-}f(x)=\lim\limits_{x\to x_0^+}f(x)=f(x_0)\). To właśnie ten warunek pozwala wyznaczyć wartość parametru \(a\).

Warunek ciągłości funkcji w punkcie

W przypadku funkcji kawałkowej trzeba sprawdzić punkt, w którym zmienia się wzór. Nazywa się go punktem sklejenia. Ciągłość w takim punkcie oznacza, że wartości wynikające z obu części funkcji prowadzą do tego samego wyniku co wartość funkcji określona bezpośrednio w punkcie.

Formalnie dla punktu \(x_0\) zapisujemy:

\[
\lim\limits_{x\to x_0^-} f(x)=\lim\limits_{x\to x_0^+} f(x)=f(x_0).
\]

Jeżeli granice jednostronne są różne albo wspólna granica nie jest równa \(f(x_0)\), funkcja nie jest ciągła w tym punkcie. Trzeba też sprawdzić dziedzinę, szczególnie wtedy, gdy we wzorze występuje mianownik, pierwiastek lub logarytm.

Jak wyznaczyć parametr \(a\)?

Rozwiązanie zadania można przeprowadzić według następującej kolejności:

1. Ustal dziedzinę funkcji – sprawdź, czy któryś mianownik nie zeruje się w rozpatrywanym punkcie oraz czy wyrażenia pod pierwiastkami i argumenty logarytmów spełniają wymagane warunki.
2. Znajdź punkt sklejenia – jest to miejsce, w którym zmienia się wzór funkcji kawałkowej.
3. Oblicz granice jednostronne – wyznacz granicę z lewej strony i z prawej strony punktu.
4. Porównaj wyniki z wartością funkcji – przyrównaj otrzymane granice do \(f(x_0)\), a następnie rozwiąż równanie zawierające parametr \(a\).

Jeśli w punkcie występuje wyrażenie typu \(\frac{0}{0}\), pomocne mogą być przekształcenia algebraiczne, na przykład wzór:

\[
(u-v)(u+v)=u^2-v^2.
\]

Przykład wyznaczenia wartości parametru

Rozważmy funkcję:

\[
f(x)=
\begin{cases}
ax+1, & x

Punktem sklejenia jest \(x_0=2\). Aby funkcja była w nim ciągła, obliczamy granicę lewostronną:

\[
\lim\limits_{x\to 2^-}f(x)=\lim\limits_{x\to 2^-}(ax+1)=2a+1.
\]

Z prawej strony korzystamy z drugiego wzoru:

\[
\lim\limits_{x\to 2^+}f(x)=\lim\limits_{x\to 2^+}x^2=4.
\]

Ponieważ dla \(x\geq 2\) obowiązuje wzór \(f(x)=x^2\), mamy także:

\[
f(2)=2^2=4.
\]

Warunek ciągłości przyjmuje więc postać:

\[
2a+1=4.
\]

Po rozwiązaniu równania:

\[
2a=3,
\qquad
a=\frac{3}{2}=1{,}5.
\]

Funkcja jest ciągła w punkcie \(x=2\) dla \(a=\frac{3}{2}\). W zadaniach tego typu parametr dobiera się zawsze tak, aby obie granice jednostronne oraz wartość funkcji w punkcie sklejenia były równe.