Jak obliczyć kurtozę? Poradnik krok po kroku
Kurtozę oblicza się jako iloraz czwartego momentu centralnego i czwartej potęgi odchylenia standardowego. Trzeba jednak rozróżnić kurtozę klasyczną, dla której rozkład normalny ma wartość 3, od ekscesu, w którym wartość odniesienia wynosi 0.
Czym jest kurtoza?
Kurtoza, nazywana też współczynnikiem skupienia lub koncentracji, opisuje kształt rozkładu danych. Pokazuje, jak silnie obserwacje koncentrują się wokół średniej oraz jak często pojawiają się wartości skrajne, czyli jak „grube” są ogony rozkładu.
Wysoka wartość może wskazywać na bardziej wysmukły rozkład i większą intensywność obserwacji skrajnych. Niska wartość oznacza zwykle bardziej spłaszczony rozkład. Sama kurtoza nie opisuje jednak asymetrii. Do tego służy skośność.
Jak obliczyć kurtozę krok po kroku?
W przykładzie użyjemy zbioru pięciu obserwacji: 1, 2, 3, 4, 5. Najpierw obliczamy średnią:
średnia = (1 + 2 + 3 + 4 + 5) / 5 = 3
Dla prostego współczynnika kurtozy, liczonego na podstawie momentu centralnego, stosujemy wzór:
Ku = μ4 / s4
gdzie:
- Ku oznacza kurtozę,
- μ4 oznacza czwarty moment centralny,
- s oznacza odchylenie standardowe.
W obliczeniach wykonaj kolejno następujące działania:
- Oblicz średnią arytmetyczną zbioru.
- Wyznacz odchylenie każdej obserwacji od średniej.
- Podnieś każde odchylenie do czwartej potęgi.
- Oblicz średnią z uzyskanych czwartych potęg, czyli czwarty moment centralny.
- Podziel ten moment przez czwartą potęgę odchylenia standardowego.
Dla podanego zbioru tabela obliczeniowa wygląda następująco:
| Wartość Xi | Odchylenie Xi – średnia | Odchylenie do potęgi 4 |
|---|---|---|
| 1 | −2 | 16 |
| 2 | −1 | 1 |
| 3 | 0 | 0 |
| 4 | 1 | 1 |
| 5 | 2 | 16 |
| Suma | 0 | 34 |
Czwarty moment centralny wynosi:
μ4 = 34 / 5 = 6,8
Odchylenie standardowe liczone dla całej populacji wynosi około 1,414, więc:
s4 ≈ 1,4144 = 4
Kurtoza ma zatem wartość:
Ku = 6,8 / 4 = 1,7
W praktyce oprogramowanie statystyczne często korzysta z poprawionej kurtozy próbkowej. Jej wzór jest następujący:
K = [n(n + 1) / ((n − 1)(n − 2)(n − 3))] × Σ[((Xi − X̄) / s)4] − [3(n − 1)2 / ((n − 2)(n − 3))]
Ten wzór uwzględnia fakt, że analizowana próba jest tylko częścią populacji. Dlatego wynik może różnić się od wartości uzyskanej przez prosty iloraz momentu i odchylenia standardowego.
Kurtoza a eksces – jaka jest różnica?
Eksces jest kurtozą pomniejszoną o 3:
Ex = Ku − 3
Jeżeli kurtoza klasyczna wynosi 3, eksces wynosi 0. W wielu programach statystycznych prezentowana wartość to właśnie eksces, mimo że w interfejsie może być opisana jako „kurtoza”. Przed interpretacją wyniku trzeba więc sprawdzić, którą definicję stosuje dane narzędzie.
Jak interpretować wynik?
Typ rozkładu zależy od tego, czy porównujesz kurtozę klasyczną, czy eksces:
| Typ rozkładu | Wartość kurtozy K | Wartość ekscesu Ex | Opis kształtu |
|---|---|---|---|
| Mezokurtyczny | K = 3 | Ex = 0 | Zbliżony pod względem koncentracji do rozkładu normalnego |
| Leptokurtyczny | K > 3 | Ex > 0 | Bardziej wysmukły, z cięższymi ogonami i większą liczbą wartości skrajnych |
| Platokurtyczny | K < 3 | Ex < 0 | Bardziej spłaszczony, z mniejszą intensywnością wartości skrajnych |
Dla rozkładu normalnego kurtoza klasyczna wynosi 3, a eksces 0. Jeżeli korzystasz z notacji ekscesowej, wartości dodatnie oznaczają rozkład leptokurtyczny, a ujemne platokurtyczny.
Na co uważać przy obliczeniach?
Wzór na poprawioną kurtozę próbkową wymaga n > 3. Przy trzech lub mniejszej liczbie obserwacji w mianowniku pojawia się zero, dlatego obliczenie jest niewykonalne. Wynik kurtozy jest też wrażliwy na wartości odstające, ponieważ odchylenia są podnoszone do czwartej potęgi. Mała próba może więc dawać niestabilny rezultat.
Najważniejsze jest zachowanie jednej konwencji: jeśli liczysz kurtozę klasyczną, wartość odniesienia dla rozkładu normalnego wynosi 3. Jeśli liczysz eksces, wartością odniesienia jest 0.
