Jak sprawdzić, czy funkcja jest iniekcją?

Funkcja jest iniekcją, czyli funkcją różnowartościową, wtedy i tylko wtedy, gdy równość jej wartości wymusza równość argumentów. W praktyce przyjmujesz \(f(x_1)=f(x_2)\) i sprawdzasz, czy z tego założenia wynika \(x_1=x_2\). Przed rozpoczęciem dowodu trzeba ustalić dziedzinę funkcji.

Jak zdefiniować iniekcję?

Niech \(f:X\to Y\). Funkcja \(f\) jest iniekcją, gdy różnym argumentom przyporządkowuje różne wartości. Formalnie zapisujemy:

\[
\forall x_1,x_2\in X\quad f(x_1)=f(x_2)\implies x_1=x_2.
\]

Równoważny zapis, wynikający z prawa kontrapozycji, ma postać:

\[
\forall x_1,x_2\in X\quad x_1\neq x_2\implies f(x_1)\neq f(x_2).
\]

Pierwszy zapis jest najczęściej używany w dowodach. Nie zakładasz w nim, że argumenty są różne. Zakładasz równość wartości funkcji, a następnie pokazujesz, że jedyną możliwością jest \(x_1=x_2\).

Jak przeprowadzić dowód iniektywności?

Najbardziej uniwersalna jest metoda oparta bezpośrednio na definicji. Możesz też posłużyć się metodą nie wprost, która wykorzystuje równoważną postać warunku.

1. Ustal dziedzinę funkcji – wybierz \(x_1,x_2\) należące do tej samej dziedziny.
2. Wybierz sposób dowodzenia – wprost albo nie wprost.
3. Przeprowadź przekształcenia – zachowując równoważność lub poprawnie uzasadniając kolejne implikacje.
4. Sformułuj wniosek – wskaż, czy funkcja spełnia definicję iniekcji.

Dowód wprost

W dowodzie wprost zaczynasz od założenia:

\[
f(x_1)=f(x_2),
\qquad x_1,x_2\in D_f.
\]

Następnie przekształcasz to równanie. Jeżeli otrzymasz \(x_1=x_2\), dowód jest zakończony i funkcja jest iniekcją.

Przykład dla funkcji \(f(x)=3x+1\), określonej na \(\mathbb{R}\):

\[
f(x_1)=f(x_2)
\]

\[
3x_1+1=3x_2+1,
\]

\[
3x_1=3x_2,
\]

\[
x_1=x_2.
\]

Zatem funkcja \(f(x)=3x+1\) jest iniekcją na \(\mathbb{R}\).

Dowód nie wprost

W tej metodzie przyjmujesz różne argumenty:

\[
x_1\neq x_2.
\]

Następnie sprawdzasz, czy rzeczywiście wynika z tego:

\[
f(x_1)\neq f(x_2).
\]

Jeśli znajdziesz choć jedną parę \(x_1\neq x_2\), dla której \(f(x_1)=f(x_2)\), funkcja nie jest iniekcją. Taka para stanowi kontrprzykład.

Na przykład dla \(f(x)=x^2\) na \(\mathbb{R}\) wybierz \(x_1=1\) oraz \(x_2=-1\). Są to różne argumenty, ale:

\[
1\neq -1,
\qquad f(1)=1^2=1,
\qquad f(-1)=(-1)^2=1.
\]

Otrzymujemy \(f(1)=f(-1)\) mimo \(1\neq-1\), więc funkcja \(f(x)=x^2\) nie jest iniekcją na \(\mathbb{R}\).

Czy pochodna pomaga sprawdzić iniekcję?

Tak, jeżeli funkcja jest różniczkowalna na rozpatrywanym przedziale. Funkcja ściśle rosnąca albo ściśle malejąca jest iniekcją, ponieważ większym argumentom przyporządkowuje odpowiednio większe lub mniejsze wartości.

W praktyce monotoniczność można często zbadać za pomocą pochodnej:

\[
f'(x)>0
\]

na całej dziedzinie oznacza, że funkcja jest ściśle rosnąca, natomiast:

\[
f'(x)

na całej dziedzinie oznacza, że funkcja jest ściśle malejąca. W obu przypadkach funkcja jest iniekcją.

Metoda pochodnej bywa szybsza, ale wymaga różniczkowalności oraz poprawnego zbadania wszystkich przedziałów dziedziny. Sam warunek \(f'(x)\geq 0\) nie zawsze wystarcza do bezpośredniego stwierdzenia ścisłej monotoniczności, dlatego w sytuacjach granicznych bezpieczniej odwołać się do definicji.

Porównanie metod sprawdzania iniekcji

Wybór metody zależy od postaci funkcji i informacji, które są łatwo dostępne:

Dlaczego dziedzina funkcji ma znaczenie?

Ta sama reguła może definiować funkcję iniektywną na jednej dziedzinie i nieiniektywną na innej. Przykładem jest \(f(x)=x^2\). Na \(\mathbb{R}\) nie jest ona iniekcją, ponieważ \(f(1)=f(-1)\). Po ograniczeniu dziedziny do \([0,\infty)\) staje się ściśle rosnąca, a więc jest iniekcją.

Dlatego przed rozpoczęciem rachunków sprawdź ograniczenia wynikające ze wzoru, na przykład miejsca zerowe mianownika lub warunki pod pierwiastkiem. Następnie upewnij się, że wybrane \(x_1\) i \(x_2\) należą do tej samej dziedziny. W wielu zadaniach właśnie zmiana dziedziny decyduje o tym, czy funkcja jest różnowartościowa.