Pojęcie funkcji, funkcja liczbowa – sposoby opisywania funkcji
Funkcja to przyporządkowanie, które każdemu elementowi dziedziny przypisuje dokładnie jeden element przeciwdziedziny. Funkcja liczbowa jest takim przyporządkowaniem, gdy argumenty i wartości są liczbami. Można ją opisać słownie, wzorem, tabelą, grafem albo wykresem.
Czym jest funkcja?
Funkcję można wyobrazić sobie jako maszynę. Do maszyny wkładamy argument, czyli element dziedziny, a następnie według ustalonej reguły otrzymujemy jedną wartość. Jeżeli reguła brzmi „podnieś liczbę do kwadratu”, to dla argumentu 2 otrzymujemy 4, a dla argumentu −2 również otrzymujemy 4.
Formalnie funkcją f ze zbioru X w zbiór Y nazywamy przyporządkowanie, w którym każdemu elementowi zbioru X odpowiada dokładnie jeden element zbioru Y. Zapisujemy to symbolem f: X → Y.
W definicji występują dwa warunki. Każdy element dziedziny musi mieć przypisaną wartość, a jednemu argumentowi nie wolno przypisać dwóch różnych wartości. Różne argumenty mogą jednak mieć tę samą wartość. Dlatego przyporządkowanie 2 → 4 i −2 → 4 nadal opisuje funkcję.
Funkcja liczbowa to funkcja, której dziedzina i przeciwdziedzina są niepustymi podzbiorami zbioru liczb rzeczywistych. W szkolnych przykładach często rozpatruje się funkcje liczbowe, na przykład f(x) = x².
Dziedzina, przeciwdziedzina i zbiór wartości
Aby poprawnie opisać funkcję, trzeba rozróżniać kilka podstawowych pojęć:
- Dziedzina Df – zbiór wszystkich dopuszczalnych argumentów, czyli wartości, które można wstawić w miejsce x.
- Argument x – pojedynczy element dziedziny.
- Przeciwdziedzina Y – zbiór, do którego należą wartości przypisywane argumentom.
- Wartość funkcji f(x) – wynik otrzymany dla konkretnego argumentu x.
- Zbiór wartości ZWf – zbiór wyników, które funkcja rzeczywiście przyjmuje. Jest on podzbiorem przeciwdziedziny, ale nie musi być z nią równy.
Na przykład dla funkcji f(x) = x², określonej dla liczb rzeczywistych, przeciwdziedziną może być zbiór liczb rzeczywistych, lecz zbiór wartości obejmuje tylko liczby nieujemne. Kwadrat liczby rzeczywistej nigdy nie jest ujemny.
Sposoby opisywania funkcji
Tę samą funkcję można przedstawić na kilka sposobów. Prześledźmy je na przykładzie funkcji f(x) = x², przyjmując dla tabeli dziedzinę {−2, −1, 0, 1, 2}.
Opis słowny
Opis słowny przedstawia regułę pełnym zdaniem: każdej liczbie przyporządkowujemy jej kwadrat. Taki zapis dobrze wyjaśnia sens funkcji, lecz przy większej liczbie obliczeń może być mniej wygodny.
Wzór funkcji
Regułę zapisujemy symbolicznie:
f(x) = x²
Wzór pozwala szybko obliczyć wartość dla wybranego argumentu. Na przykład f(−2) = (−2)² = 4, a f(1) = 1² = 1. Wzór jest tylko jednym ze sposobów opisu. Funkcja nie musi być określona wzorem.
Tabela
Tabela zestawia argumenty z odpowiadającymi im wartościami:
| Argument x | Wartość f(x) |
|---|---|
| −2 | 4 |
| −1 | 1 |
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 2 | 4 |
Tabela jest wygodna, gdy dziedzina ma niewiele elementów albo gdy potrzebujemy przedstawić tylko kilka wybranych wartości. Nie można jednak wypisać w niej wszystkich argumentów funkcji określonej na nieskończonym zbiorze.
Graf
Graf, nazywany także diagramem strzałkowym, przedstawia dwa zbiory. W pierwszym znajdują się argumenty, a w drugim wartości. Strzałki pokazują przyporządkowanie:
−2 → 4, −1 → 1, 0 → 0, 1 → 1, 2 → 4.
Z grafu łatwo odczytać, czy przyporządkowanie spełnia definicję funkcji. Z każdego elementu dziedziny musi wychodzić dokładnie jedna strzałka.
Wykres
Wykres funkcji jest zbiorem punktów o współrzędnych (x, f(x)) w układzie współrzędnych. Dla przedstawionego fragmentu funkcji f(x) = x² otrzymujemy punkty:
(−2, 4), (−1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 4).
W przypadku dziedziny obejmującej wszystkie liczby rzeczywiste wykres funkcji f(x) = x² tworzy parabolę. Wykres dobrze pokazuje zależność między argumentami i wartościami, ale przybliżony rysunek nie zawsze pozwala odczytać dokładne liczby.
Każda z metod ma inne zastosowanie:
| Metoda | Zastosowanie | Wady |
|---|---|---|
| Opis słowny | Wyjaśnia regułę przyporządkowania w naturalny sposób. | Może być niewygodny przy wielu obliczeniach. |
| Wzór | Pozwala precyzyjnie obliczać wartości funkcji. | Nie każdą funkcję łatwo zapisać jednym wzorem. |
| Tabela | Pokazuje konkretne pary argumentów i wartości. | Nie nadaje się do wypisania nieskończonej dziedziny. |
| Graf | Obrazuje przyporządkowania między dwoma zbiorami. | Przy dużej liczbie elementów staje się nieczytelny. |
| Wykres | Pokazuje przebieg funkcji w układzie współrzędnych. | Odczyt z rysunku może być przybliżony. |
Jak rozpoznać, co nie jest funkcją?
Relacja między dwoma zbiorami nie zawsze jest funkcją. Przyporządkowanie nie spełnia definicji, gdy choć jeden argument nie ma wartości albo gdy jednemu argumentowi przypisano dwie różne wartości.
Przykładem jest przyporządkowanie „każdej liczbie przypisz liczbę, której jest kwadratem”. Dla liczby 4 trzeba byłoby przypisać zarówno 2, jak i −2, ponieważ 2² = 4 oraz (−2)² = 4. Jeden argument otrzymuje więc dwie wartości, dlatego takie przyporządkowanie nie jest funkcją.
W przypadku wykresu można zastosować test pionowej prostej. Wyobraź sobie pionową prostą przesuwaną wzdłuż układu współrzędnych. Jeżeli w którymś miejscu przecina ona rysunek w dwóch punktach, rysunek nie przedstawia wykresu funkcji. Oznacza to bowiem, że temu samemu argumentowi x odpowiadają dwie różne wartości.
Nie jest błędem, gdy dwa różne argumenty mają tę samą wartość. Dla funkcji f(x) = x² argumenty −2 i 2 prowadzą do wyniku 4. Warunek funkcji dotyczy odwrotnej sytuacji: jeden argument nie może mieć dwóch różnych wyników.
Co warto zapamiętać?
Funkcja jest relacją między zbiorami, a nie tylko wzorem. Najważniejsza zasada brzmi: każdemu argumentowi odpowiada dokładnie jedna wartość. Funkcję można opisać słownie, wzorem, tabelą, grafem lub wykresem, a wybór sposobu zależy od rodzaju dziedziny i celu przedstawienia.
