Wariancja – jak obliczyć ten parametr statystyczny?
Wariancja to średnia arytmetyczna kwadratów odchyleń wartości od średniej. Pokazuje, jak bardzo dane są rozproszone. Dla całej populacji dzielisz sumę kwadratów odchyleń przez N, a dla próby przez N − 1.
Wzory na wariancję populacji i próby
Najpierw oblicza się średnią arytmetyczną, a następnie różnicę między każdą wartością a tą średnią. Różnice podnosi się do kwadratu, sumuje i dzieli przez właściwy mianownik.
| Rodzaj wariancji | Wzór | Mianownik | Zastosowanie |
|---|---|---|---|
| Wariancja populacji σ² | σ² = Σ(xᵢ − μ)² / N | N | Gdy analizujesz wszystkie elementy populacji |
| Wariancja próby s² | s² = Σ(xᵢ − x̄)² / (N − 1) | N − 1 | Gdy dane są tylko częścią większej populacji |
| Średnia arytmetyczna | μ lub x̄ = Σxᵢ / N | N | Średnia wszystkich obserwacji |
W oznaczeniach xᵢ oznacza kolejną obserwację, μ lub x̄ średnią arytmetyczną, a N liczbę obserwacji. Symbol σ² stosuje się zwykle dla wariancji populacji, a s² dla wariancji z próby.
Dzielenie przez N − 1 jest nazywane korektą Besselsa. Próba zwykle zaniża rozproszenie całej populacji, ponieważ jej średnia jest wyznaczana na podstawie tych samych danych. Zmniejszenie mianownika z N do N − 1 kompensuje to niedoszacowanie i pozwala uzyskać nieobciążony estymator wariancji populacji.
Jak obliczyć wariancję krok po kroku?
Algorytm jest taki sam dla populacji i próby. Zmienia się tylko ostatni krok, czyli mianownik:
- Oblicz średnią arytmetyczną wszystkich wartości.
- Od każdej wartości odejmij średnią.
- Podnieś każde otrzymane odchylenie do kwadratu.
- Zsumuj wszystkie kwadraty odchyleń.
- Podziel sumę przez N dla populacji albo przez N − 1 dla próby.
Przed rozpoczęciem obliczeń ustal więc, czy analizujesz kompletny zbiór danych, czy tylko próbę. To właśnie ta decyzja wpływa na końcowy wynik.
Przykład obliczenia wariancji
Obliczmy wariancję populacji dla zbioru danych: 2, 4, 4, 6, 9. Liczba obserwacji wynosi N = 5.
Najpierw obliczamy średnią:
μ = (2 + 4 + 4 + 6 + 9) / 5 = 25 / 5 = 5
Następnie wyznaczamy odchylenie każdej wartości od średniej i podnosimy je do kwadratu:
| Wartość (x) | Odchylenie (x − średnia) | Kwadrat odchylenia |
|---|---|---|
| 2 | 2 − 5 = −3 | 9 |
| 4 | 4 − 5 = −1 | 1 |
| 4 | 4 − 5 = −1 | 1 |
| 6 | 6 − 5 = 1 | 1 |
| 9 | 9 − 5 = 4 | 16 |
| Suma | – | 28 |
Suma kwadratów odchyleń wynosi 28. Wariancja populacji jest więc równa:
σ² = 28 / 5 = 5,6
Gdyby te same pięć wartości stanowiło tylko próbę większej populacji, zastosowalibyśmy wzór z mianownikiem N − 1:
s² = 28 / (5 − 1) = 28 / 4 = 7
Ten przykład pokazuje, że wariancja z próby jest większa niż wariancja populacji dla tego samego zestawu liczb, ponieważ suma kwadratów odchyleń jest dzielona przez mniejszą liczbę.
Kiedy dzielić przez N, a kiedy przez N − 1?
Wybór mianownika zależy od tego, co reprezentują dane:
- N – wybierz, gdy zbiór zawiera całą badaną populację.
- N − 1 – wybierz, gdy dane są próbą pobraną z większej populacji.
- Wariancja populacji σ² – opisuje rzeczywiste rozproszenie kompletnego zbioru.
- Wariancja próby s² – szacuje rozproszenie populacji na podstawie niepełnych danych.
Najczęstszy błąd polega na dzieleniu przez N mimo tego, że analizowany zbiór jest tylko próbą. Sam fakt, że masz wszystkie wyniki z przeprowadzonego badania, nie oznacza jeszcze, że masz całą populację. Liczy się zakres pytania, na które odpowiadasz.
Dlaczego odchylenie standardowe jest łatwiejsze do interpretacji?
Wariancja ma jednostkę podniesioną do kwadratu. Jeśli dane dotyczą masy wyrażonej w kilogramach, wariancja będzie wyrażona w kg². Z tego powodu jej bezpośrednia interpretacja bywa mniej intuicyjna.
Odchylenie standardowe jest pierwiastkiem z wariancji. W przykładzie dla populacji wynosi √5,6, czyli około 2,37. Wynik jest ponownie wyrażony w tej samej jednostce co dane, dlatego łatwiej powiedzieć, jak typowo wartości oddalają się od średniej.
