Jak obliczyć błąd pomiaru?

Błąd bezwzględny oblicza się ze wzoru Δx = |x_rz − x_m|, a względny ze wzoru ε = Δx / x_rz. Błąd względny można podać w procentach, mnożąc wynik przez 100%. Przy pomiarach trzeba też uwzględnić dokładność użytego przyrządu.

Podstawowe wzory na błąd pomiaru

Wartość rzeczywista oznacza wartość uznawaną za dokładną, a wartość zmierzona to wynik otrzymany za pomocą przyrządu. Różnica między nimi opisuje, jak bardzo pomiar odbiega od wartości rzeczywistej.

Błąd bezwzględny informuje, o ile jednostek pomiar różni się od wartości rzeczywistej. Błąd względny pokazuje wielkość tego odchylenia w stosunku do wartości rzeczywistej. W zapisie procentowym stosuje się wzór ε_% = (Δx / x_rz) × 100%.

Przykład obliczenia błędu

Załóżmy, że rzeczywista długość stołu wynosi 100 cm, natomiast pomiar dał wynik 102 cm.

Najpierw obliczamy błąd bezwzględny:

Δx = |100 cm − 102 cm| = 2 cm

Oznacza to, że pomiar różni się od wartości rzeczywistej o 2 cm. Następnie wyznaczamy błąd względny:

ε = 2 cm / 100 cm = 0,02

Po wyrażeniu wyniku w procentach otrzymujemy:

ε_% = 0,02 × 100% = 2%

Wynik można więc zapisać jako 102 cm ± 2 cm, a względny błąd tego pomiaru wynosi 2%. W zadaniach matematycznych wartość zmierzona może być zarówno większa, jak i mniejsza od rzeczywistej. Zastosowanie wartości bezwzględnej sprawia, że błąd bezwzględny jest nieujemny.

Błędy przyrządowe – klasa i dokładność miernika

Nawet starannie wykonany pomiar nie będzie dokładniejszy niż pozwala na to użyty przyrząd. Dlatego wynik należy oceniać z uwzględnieniem jego klasy, rozdzielczości albo danych podanych w instrukcji.

Przyrząd analogowy i klasa pomiarowa

W przyrządach analogowych błąd graniczny odnosi się zwykle do pełnego zakresu pomiarowego, a nie do aktualnego odczytu. Do obliczenia błędu bezwzględnego stosuje się zależność:

Δx = (klasa / 100) × zakres

Graniczny błąd względny dla konkretnego odczytu można obliczyć według reguły:

ε_% = klasa × zakres / odczyt

Przykładowo, woltomierz o zakresie 300 V i klasie 1,5 ma błąd bezwzględny:

ΔU = 1,5% × 300 V = 4,5 V

Jeżeli wskazanie wynosi 10 V, graniczny błąd względny wynosi:

ε_% = 1,5 × 300 / 10 = 45%

Ten przykład pokazuje, dlaczego przyrząd analogowy powinien pracować na zakresie możliwie bliskim mierzonej wartości. Pomiar bliski zeru może mieć duży błąd względny, mimo że klasa przyrządu pozostaje taka sama.

Miernik cyfrowy i zapis ±(x% + y cyfr)

Specyfikacja miernika cyfrowego często ma postać ±(x% wartości wskazania + y cyfr). Pierwszy składnik zależy od wyniku pomiaru. Drugi uwzględnia wagę ostatniej cyfry na wyświetlaczu, czyli najmniejszą wartość, jaką miernik może wskazać na wybranym zakresie.

Jeżeli rozdzielczość wynosi 0,01 V, jedna cyfra oznacza 0,01 V. Dla zapisu ±(1,2% + 5) składnik cyfrowy wynosi więc 5 × 0,01 V = 0,05 V, a nie 5 V.

Obliczenie wykonuje się w następującej kolejności:

1. Odczytaj wartość wskazaną przez miernik.
2. Oblicz składnik procentowy, mnożąc wskazanie przez podany procent.
3. Sprawdź rozdzielczość na wybranym zakresie i pomnóż ją przez liczbę cyfr.
4. Dodaj oba składniki, aby otrzymać graniczny błąd bezwzględny.

Załóżmy, że miernik wskazuje 27,00 V, jego dokładność wynosi ±(1,2% + 5), a waga ostatniej cyfry to 0,01 V. Składnik procentowy wynosi:

1,2% × 27,00 V = 0,324 V

Składnik wynikający z cyfr to:

5 × 0,01 V = 0,05 V

Całkowity graniczny błąd bezwzględny wynosi:

ΔU = 0,324 V + 0,05 V = 0,374 V

Wynik można zapisać jako 27,00 V ± 0,374 V. Oznacza to, że w granicach specyfikacji przyrządu rzeczywista wartość może mieścić się w przybliżeniu między 26,626 V a 27,374 V. Błędu procentowego i składnika cyfrowego nie dodaje się bezpośrednio. Najpierw trzeba przeliczyć oba składniki na tę samą jednostkę, czyli na błąd bezwzględny.

Skąd biorą się błędy pomiarowe?

Nie każdy błąd wynika z niedokładności skali lub elektroniki przyrządu. Źródło odchylenia może znajdować się także w warunkach pomiaru albo w sposobie wykonania odczytu:

• Błędy systematyczne mają powtarzalny charakter i mogą wynikać na przykład z niewłaściwej kalibracji, błędu wzorcowania, temperatury lub innych warunków otoczenia.
• Błędy przypadkowe zmieniają się w sposób trudny do przewidzenia, dlatego pojedynczy pomiar nie zawsze pozwala określić ich wpływ.
• Błędy grube są skutkiem pomyłki, na przykład odczytania złej skali, zapisania niewłaściwej wartości albo wybrania nieodpowiedniego zakresu.

Dlaczego wynik powinien zawierać informację o błędzie?

Sam wynik pomiaru nie mówi, jak bardzo można mu ufać. Dopiero podanie błędu bezwzględnego lub względnego określa zakres możliwego odchylenia. Znajomość tych wartości pozwala porównać pomiary, dobrać zakres przyrządu i ocenić, czy uzyskana dokładność wystarcza do danego zastosowania.