Jak przeprowadzić test Kołmogorowa-Smirnowa?
Test Kołmogorowa-Smirnowa porównuje dystrybuantę empiryczną próby z dystrybuantą rozkładu teoretycznego, najczęściej normalnego. Procedura obejmuje sformułowanie hipotez, standaryzację danych do rozkładu N(0,1), obliczenie największej różnicy między dystrybuantami oraz porównanie jej z wartością krytyczną.
Czym jest test Kołmogorowa-Smirnowa?
Test Kołmogorowa-Smirnowa (K-S) dla jednej próby służy do sprawdzenia, czy dane mogą pochodzić z określonego rozkładu teoretycznego. W analizie normalności porównuje się rozkład obserwowany z rozkładem normalnym.
Podstawą obliczeń jest dystrybuanta empiryczna, oznaczana tutaj przez K(x), oraz dystrybuanta teoretyczna F(x). Statystyka testowa opiera się na największej wartości bezwzględnej różnicy między tymi funkcjami. Test dotyczy rozkładów ciągłych, dlatego nie powinien być stosowany bezpośrednio do zmiennych o rozkładzie dyskretnym.
W porównaniu z testem chi-kwadrat procedura K-S może być użyteczna przy małych próbach, ponieważ nie wymaga grupowania obserwacji w przedziały klasowe. Dla większych zbiorów danych wykorzystuje się jednak inny schemat obliczeniowy, oparty na szeregu rozdzielczym.
Przed rozpoczęciem obliczeń sprawdź podstawowe założenia:
- badana zmienna jest ilościowa i ciągła;
- obserwacje są niezależne;
- próba pochodzi z jednej populacji;
- wybrano rozkład teoretyczny, z którym zostaną porównane dane.
Jak przeprowadzić test K-S krok po kroku?
Weryfikacja zgodności z rozkładem normalnym przebiega według następującego schematu:
- Sformułuj hipotezy. Hipoteza zerowa H0 zakłada, że rozkład w populacji jest zgodny z rozkładem normalnym. Hipoteza alternatywna H1 zakłada brak tej zgodności.
- Ustal poziom istotności. Najczęściej wybiera się poziom oznaczany przez α, a następnie odczytuje odpowiadającą mu wartość krytyczną.
- Standaryzuj dane. Każdą obserwację albo górną granicę przedziału klasowego przekształć do rozkładu N(0,1).
- Wyznacz dystrybuanty. Dla każdej wartości oblicz dystrybuantę empiryczną K oraz teoretyczną F dla standardowego rozkładu normalnego.
- Oblicz różnice. Wyznacz wartości |K − F| i wybierz największą z nich.
- Porównaj statystykę z wartością krytyczną. Jeżeli statystyka testowa jest większa lub równa wartości krytycznej, odrzuć H0. W przeciwnym razie nie ma podstaw do jej odrzucenia.
Standaryzacja danych do N(0,1)
Tablice dystrybuanty normalnej odnoszą się do standardowego rozkładu normalnego o średniej równej 0 i odchyleniu standardowym równym 1. Dlatego obserwacje przekształca się według wzoru:
x′ = (x − m) / s
gdzie x oznacza obserwację, m średnią w próbie, a s odchylenie standardowe. W przypadku szeregu rozdzielczego standaryzuje się górne granice przedziałów klasowych, a nie pojedyncze obserwacje.
Obliczenia dla małych i dużych prób
Mała próba – szereg pozycyjny
Dla małej próby uporządkuj obserwacje rosnąco. Następnie każdą z nich zestandaryzuj i wyznacz wartość dystrybuanty empirycznej. Przy n obserwacjach dla i-tej pozycji można zapisać:
K(x′i) = i / n
Układ obliczeń powinien mieć następującą postać:
| i | xi | x′i | K(x′i) | F(x′i) | |K(x′i) − F(x′i)| |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | uporządkowana obserwacja | wartość standaryzowana | 1/n | z tablic N(0,1) | wartość bezwzględna różnicy |
| i | uporządkowana obserwacja | wartość standaryzowana | i/n | z tablic N(0,1) | wartość bezwzględna różnicy |
| n | uporządkowana obserwacja | wartość standaryzowana | 1 | z tablic N(0,1) | wartość bezwzględna różnicy |
Największa wartość z ostatniej kolumny jest statystyką Dn. Porównuje się ją z wartością krytyczną dla wybranej liczebności próby i poziomu istotności.
Duża próba – szereg rozdzielczy
Przy dużej liczbie obserwacji dane przedstawia się w przedziałach klasowych. Dla każdego przedziału bierze się pod uwagę jego górną granicę ai, jej wartość standaryzowaną oraz liczebność klasy ni. Dystrybuanta empiryczna jest wtedy skumulowanym udziałem obserwacji:
K(a′i) = (n1 + n2 + … + ni) / n
Tabelę obliczeniową buduje się w następujący sposób:
| i | ai | a′i | ni | K(a′i) | F(a′i) | |K(a′i) − F(a′i)| |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | górna granica klasy | granica standaryzowana | liczebność klasy | n1/n | z tablic N(0,1) | wartość bezwzględna różnicy |
| i | górna granica klasy | granica standaryzowana | liczebność klasy | skumulowana liczebność/n | z tablic N(0,1) | wartość bezwzględna różnicy |
| n | górna granica klasy | granica standaryzowana | liczebność klasy | 1 | z tablic N(0,1) | wartość bezwzględna różnicy |
W tej wersji największa różnica między dystrybuantą empiryczną i teoretyczną jest podstawą do wyznaczenia statystyki granicznej, często zapisywanej jako λ. Następnie porównuje się ją z wartością krytyczną λα.
Na co uważać podczas obliczeń?
Nie porównuj surowych obserwacji bez wcześniejszej standaryzacji. Jeżeli tablice lub wartości teoretyczne dotyczą rozkładu N(0,1), dane muszą zostać przekształcone z użyciem własnej średniej i odchylenia standardowego. W przeciwnym razie dystrybuanta empiryczna i teoretyczna będą odnosiły się do różnych skal.
Tablice standardowego rozkładu normalnego często podają wartości tylko dla argumentów nieujemnych. Dla wartości ujemnej wykorzystuje się symetrię rozkładu:
F(−x) = 1 − F(x)
Przykładowo, jeżeli z tablic odczytano wartość dla x = 2, to dla argumentu ujemnego:
F(−2) = 1 − F(2)
Wniosek formułuje się zawsze w odniesieniu do hipotezy zerowej. Odrzucenie H0 oznacza, że różnica między rozkładem empirycznym i teoretycznym jest zbyt duża przy przyjętym poziomie istotności. Brak podstaw do odrzucenia H0 nie dowodzi, że dane na pewno mają rozkład normalny, lecz wskazuje, że test nie wykazał istotnej niezgodności.
