Jak obliczyć średnią z przedziałów klasowych?
Średnią z przedziałów klasowych oblicza się, zastępując każdy przedział jego środkiem, mnożąc ten środek przez liczebność przedziału, sumując iloczyny i dzieląc wynik przez łączną liczebność danych. Otrzymana wartość jest przybliżeniem, ponieważ nie znamy pojedynczych obserwacji należących do poszczególnych przedziałów.
Na czym polega średnia z przedziałów klasowych?
Szereg rozdzielczy przedziałowy grupuje dane w zakresy, na przykład 10–20, 20–30 czy 30–40. W takim zestawieniu nie znamy dokładnych wartości wszystkich obserwacji. Wiemy tylko, ile z nich znalazło się w każdym przedziale.
Dlatego każdy przedział zastępuje się jego reprezentantem, czyli środkiem przedziału. Następnie uwzględnia się liczebność, aby przedziały zawierające więcej obserwacji miały większy wpływ na wynik.
Wzory i oznaczenia
Środek przedziału wyznacza się jako średnią arytmetyczną jego dolnej i górnej granicy:
xi = (początek przedziału + koniec przedziału) / 2
Dla przedziału 10–20 środek wynosi więc:
xi = (10 + 20) / 2 = 15
Po wyznaczeniu środków wszystkich przedziałów stosuje się wzór na średnią szeregu przedziałowego:
x̄ = Σ(xi · ni) / N
Znaczenie symboli jest następujące:
| Symbol | Nazwa | Co oznacza |
|---|---|---|
| xi | Środek przedziału | Średnia dolnej i górnej granicy danego przedziału |
| ni | Liczebność przedziału | Liczba obserwacji należących do danego przedziału |
| N | Łączna liczebność | Suma wszystkich liczebności, czyli N = Σni |
Symbol Σ oznacza sumowanie wartości dla wszystkich przedziałów. Najważniejsze działanie w liczniku polega na pomnożeniu każdego środka przedziału przez jego liczebność.
Jak obliczyć średnią krok po kroku?
Załóżmy, że wyniki pomiaru przedstawiono w czterech przedziałach:
| Przedział | Środek xi | Liczebność ni | Iloczyn xi · ni |
|---|---|---|---|
| 0–10 | 5 | 3 | 15 |
| 10–20 | 15 | 5 | 75 |
| 20–30 | 25 | 7 | 175 |
| 30–40 | 35 | 5 | 175 |
| Razem | – | 20 | 440 |
Obliczenia wykonuje się w następującej kolejności:
- Wyznacz środek każdego przedziału, dodając jego granice i dzieląc wynik przez 2.
- Pomnóż każdy środek xi przez odpowiadającą mu liczebność ni.
- Zsumuj wszystkie iloczyny xi · ni.
- Podziel otrzymaną sumę przez łączną liczebność N.
Dla przedstawionych danych suma liczebności wynosi:
N = 3 + 5 + 7 + 5 = 20
Suma iloczynów wynosi:
Σ(xi · ni) = 15 + 75 + 175 + 175 = 440
Podstawiamy wartości do wzoru:
x̄ = 440 / 20 = 22
Średnia dla tego szeregu przedziałowego wynosi więc 22.
Jak interpretować wynik?
Wynik 22 oznacza, że przy przyjęciu środków przedziałów jako reprezentantów obserwacji średnia wartość w zbiorze wynosi około 22 jednostki. Nie musi to oznaczać, że dokładnie taka obserwacja wystąpiła w danych.
Średnia jest przybliżona, ponieważ zakładamy, że obserwacje w każdym przedziale można reprezentować jego środkiem. Jeżeli dane są w obrębie przedziałów rozłożone nierównomiernie, rzeczywista średnia może nieco różnić się od obliczonej.
Trzeba też pilnować, aby nie pomylić środka przedziału z jego granicami, poprawnie obliczyć N oraz nie pominąć mnożenia xi przez ni. W przypadku przedziałów otwartych, takich jak „powyżej 100”, nie da się wyznaczyć dokładnego środka bez przyjęcia dodatkowej, umownej granicy.
Najkrótszy zapis całej metody wygląda więc tak: przedziały → środki → iloczyny ze średnimi liczebnościami → suma → dzielenie przez N.
