Jak obliczyć współczynnik korelacji Spearmana?

Współczynnik korelacji Spearmana mierzy siłę i kierunek monotonicznej zależności między dwiema zmiennymi. Oblicza się go po zastąpieniu wartości surowych rangami, a następnie porównaniu rang w każdej parze obserwacji.

W najprostszym przypadku stosuje się wzór:

r_s = 1 −
^{6 · Σd_i2}⁄_{n(n² − 1)}

gdzie d_i oznacza różnicę między rangą wartości X i rangą odpowiadającej jej wartości Y, a n jest liczbą par obserwacji. Wynik mieści się w zakresie od −1 do 1.

Jak obliczyć współczynnik Spearmana krok po kroku?

Przyjmijmy sześć par danych, w których większej wartości X odpowiada na ogół większa wartość Y:

W tym przykładzie kolejność wartości X i Y jest taka sama, więc suma kwadratów różnic wynosi 0. Procedura obliczeniowa wygląda następująco:

1. Uporządkuj wartości X i Y rosnąco albo malejąco. Kierunek porządkowania musi być taki sam dla obu zmiennych.
2. Przypisz każdej wartości rangę. Najmniejsza obserwacja otrzymuje rangę 1, kolejna rangę 2, a największa rangę n.
3. Dla każdej pary oblicz różnicę rang: d_i = R_X − R_Y.
4. Podnieś każdą różnicę do kwadratu i zsumuj otrzymane wartości.
5. Podstaw liczbę par oraz sumę kwadratów różnic do wzoru.

Dla przedstawionych danych n = 6 oraz Σd_i² = 0, więc:

r_s = 1 −
^{6 · 0}⁄_{6(6² − 1)} = 1

Wynik oznacza pełną dodatnią zgodność kolejności obserwacji. W praktycznych danych różnice rang zwykle występują, dlatego współczynnik przyjmuje wartość niższą od 1.

Jak wyznaczać rangi?

Ranga wskazuje pozycję obserwacji po uporządkowaniu wartości. Rangi wyznacza się osobno dla X i Y, zachowując pary danych. Nie wolno sortować jednej kolumny bez odpowiedniego przypisania jej do drugiej, ponieważ zerwałoby to związek między obserwacjami.

Można numerować wartości od najmniejszej do największej albo odwrotnie. Ważne, aby dla obu zmiennych zastosować tę samą zasadę. Zmiana kierunku rang w obu kolumnach nie zmienia wartości współczynnika.

Co zrobić przy powtarzających się wartościach?

Identyczne wartości tworzą rangi wiązane. Wszystkim powtórzeniom przypisuje się średnią arytmetyczną pozycji, które zajęłyby po uporządkowaniu danych.

Jeżeli wartość występuje na pozycjach 2 i 3, każda z tych obserwacji otrzymuje rangę:

(2 + 3) / 2 = 2,5

Przy trzech identycznych wartościach zajmujących pozycje 5, 6 i 7 wspólna ranga wynosi:

(5 + 6 + 7) / 3 = 6

Takie rangi należy zastosować zarówno w kolumnie X, jak i Y, zanim obliczy się różnice i ich kwadraty. Prosty wzór z sumą d² jest najwygodniejszy przy braku rang wiązanych lub ich niewielkiej liczbie. Gdy powtórzeń jest dużo, lepiej użyć procedury statystycznej, która uwzględnia korektę dla rang wiązanych.

Jak interpretować wynik?

Znak współczynnika określa kierunek zależności, a wartość bezwzględna |r_s| – jej siłę. Poniższe przedziały są orientacyjne, ponieważ ocena zależy także od dziedziny i liczby obserwacji.

Wartość dodatnia oznacza, że wraz ze wzrostem jednej zmiennej druga ma tendencję do wzrostu. Wartość ujemna wskazuje, że wzrost jednej zmiennej wiąże się ze spadkiem drugiej. Korelacja nie dowodzi jednak związku przyczynowo-skutkowego.

Kiedy wybrać Spearmana zamiast Pearsona?

Współczynnik Spearmana opiera się na rangach, dlatego nie wykorzystuje pełnej odległości między wartościami, lecz ich kolejność. Jest właściwym wyborem, gdy:

• Dane mają charakter porządkowy, na przykład poziom wykształcenia lub oceny.
• Zależność jest monotoniczna, ale nie musi być liniowa.
• W danych występują wartości odstające, których nie można lub nie należy usuwać.
• Założenia korelacji Pearsona, zwłaszcza dotyczące liniowości, nie są spełnione.

Korelacja Pearsona lepiej opisuje zależność liniową między zmiennymi ilościowymi i zachowuje informację o dokładnych odległościach między wartościami. Przed wyborem miary warto obejrzeć dane na wykresie rozrzutu, ponieważ sam współczynnik nie pokazuje kształtu zależności.