Jak obliczyć odchylenie standardowe z próby?
Odchylenie standardowe z próby oblicza się, dzieląc sumę kwadratów odchyleń od średniej przez n − 1, a następnie wyciągając pierwiastek kwadratowy. Mianownik n − 1 wynika z korekty Bessela i służy do estymacji zmienności całej populacji na podstawie jej części.
Wzór na odchylenie standardowe z próby
Odchylenie standardowe mierzy rozproszenie wyników wokół średniej arytmetycznej. Im wyższa jego wartość, tym bardziej zróżnicowane są dane.
Dla próby stosuje się wzór:
s = √[Σ(xi − x̄)2 / (n − 1)]
W tym zapisie xi oznacza pojedynczą obserwację, x̄ – średnią z próby, a n – liczbę obserwacji. Najpierw oblicza się wariancję próby, czyli średnią skorygowaną sumę kwadratów odchyleń, a potem wyciąga z niej pierwiastek.
Dlaczego stosuje się n − 1?
Próba obejmuje tylko część populacji. Jej średnia jest wyznaczana z tych samych danych, które później wykorzystujemy do mierzenia rozproszenia. Z tego powodu zwykłe dzielenie przez n ma tendencję do zaniżania oszacowania zmienności populacji.
Podzielenie przez n − 1 zwiększa wynik i częściowo koryguje to zaniżenie. Tę poprawkę nazywa się korektą Bessela. Przy tych samych danych odchylenie obliczone z n − 1 będzie większe niż wynik uzyskany po podzieleniu przez n. Różnica jest szczególnie widoczna w małych próbach.
Wybór mianownika zależy od celu obliczeń:
- n − 1 stosuj, gdy próba ma posłużyć do oszacowania odchylenia standardowego większej populacji.
- n stosuj, gdy opisujesz wyłącznie kompletny zbiór, który masz przed sobą, bez uogólniania wyniku na szerszą populację.
- Próba oznacza część obserwacji pobraną z większej populacji.
- Populacja obejmuje wszystkie obserwacje, które chcesz opisać.
Jak obliczyć odchylenie standardowe z próby krok po kroku?
Załóżmy, że próba zawiera pięć wartości: 2, 4, 5, 6 i 8.
- Oblicz średnią arytmetyczną próby.
- Odejmij średnią od każdej wartości.
- Podnieś każde odchylenie do kwadratu.
- Dodaj otrzymane kwadraty, podziel sumę przez n − 1 i wyciągnij pierwiastek.
Średnia wynosi:
x̄ = (2 + 4 + 5 + 6 + 8) / 5 = 5
Poszczególne obliczenia wyglądają następująco:
| Wartość x | Odchylenie od średniej x − x̄ | Kwadrat odchylenia (x − x̄)2 |
|---|---|---|
| 2 | −3 | 9 |
| 4 | −1 | 1 |
| 5 | 0 | 0 |
| 6 | 1 | 1 |
| 8 | 3 | 9 |
Suma kwadratów odchyleń wynosi 20. Ponieważ próba ma pięć elementów, n − 1 = 4. Wariancja próby to:
s2 = 20 / 4 = 5
Na końcu obliczamy pierwiastek:
s = √5 ≈ 2,236
Odchylenie standardowe z tej próby wynosi więc około 2,24.
Jak obliczyć odchylenie standardowe w Excelu i Arkuszach Google?
W arkuszu kalkulacyjnym wybierz funkcję przeznaczoną dla próby, jeśli dane mają reprezentować większą populację. W polskiej wersji Excela jest to między innymi funkcja ODCH.STANDARDOWE.PRÓBKI. W Arkuszach Google spotkasz funkcję ODCH.STANDARDOWE dla próby.
- ODCH.STANDARDOWE.PRÓBKI – odchylenie standardowe z próby, z mianownikiem n − 1.
- ODCH.STANDARDOWE – funkcja używana w Arkuszach Google do obliczeń dla próby.
- ODCH.STAND.POPUL lub ODCH.STANDARD.POPUL – odchylenie standardowe całej populacji, z mianownikiem n.
- STDEV i STDEVP – angielskie odpowiedniki funkcji dla próby i populacji w zależności od wersji programu.
Przykładowa formuła dla wartości zapisanych w komórkach A1:A5 może wyglądać tak:
=ODCH.STANDARDOWE.PRÓBKI(A1:A5)
Jeżeli wynik z arkusza różni się od obliczenia ręcznego, najczęstszą przyczyną jest użycie funkcji dla próby zamiast funkcji dla populacji albo odwrotnie. Sprawdź przede wszystkim, czy program dzieli sumę kwadratów przez n − 1, czy przez n.
W praktyce odpowiedź na pytanie, jak obliczyć odchylenie standardowe z próby, sprowadza się do czterech działań: obliczenia średniej, wyznaczenia kwadratów odchyleń, podzielenia ich sumy przez n − 1 oraz spierwiastkowania wyniku.
