Jak znaleźć punkty wspólne dwóch funkcji?

Aby znaleźć punkty wspólne wykresów dwóch funkcji, przyrównaj ich wzory, czyli rozwiąż równanie f(x) = g(x). Otrzymane wartości x są odciętymi punktów przecięcia. Następnie oblicz odpowiadające im wartości y i zapisz pełne współrzędne w postaci (x, y).

Jak znaleźć punkty wspólne dwóch funkcji krok po kroku?

Punkt wspólny wykresów to miejsce, w którym obie funkcje mają ten sam argument x oraz tę samą wartość y. Dlatego w takim punkcie zachodzi równość f(x) = g(x).

1. Przyrównaj wzory funkcji – zapisz równanie f(x) = g(x).
2. Rozwiąż powstałe równanie – wyznacz wszystkie możliwe wartości x.
3. Oblicz y – każdą znalezioną wartość x podstaw do wzoru jednej z funkcji, na przykład f(x).
4. Zapisz punkty wspólne – połącz każdą wartość x z odpowiadającą jej wartością y w parę (x, y).

Samo rozwiązanie równania f(x) = g(x) nie daje jeszcze pełnych punktów. Wyznacza tylko ich pierwsze współrzędne, czyli wartości x.

Przykład obliczeniowy

Wyznaczmy punkty wspólne funkcji:

f(x) = x² + 3x

g(x) = 2x + 6

Najpierw przyrównujemy wzory:

x² + 3x = 2x + 6

Po przeniesieniu wszystkich wyrażeń na jedną stronę otrzymujemy:

x² + x − 6 = 0

Rozkładamy trójmian na czynniki:

(x + 3)(x − 2) = 0

Stąd:

x = −3 lub x = 2

Teraz obliczamy drugą współrzędną. Możemy podstawić każdą wartość x do funkcji g(x) = 2x + 6:

Dla x = −3:

y = 2 · (−3) + 6 = 0

Dla x = 2:

y = 2 · 2 + 6 = 10

Zatem punkty wspólne wykresów to (−3, 0) oraz (2, 10). Wartości x wskazują miejsca przecięcia na osi poziomej, ale dopiero pary (x, y) są pełnymi współrzędnymi punktów.

Algorytm można zapamiętać w skróconej postaci:

• Przyrównaj funkcje: f(x) = g(x).
• Rozwiąż równanie i znajdź wartości x.
• Podstaw każdą wartość x do jednego ze wzorów.
• Zapisz otrzymane punkty jako (x, y).