Jak sprawdzić, czy funkcja ma ekstremum?
Aby sprawdzić, czy funkcja jednej zmiennej ma ekstremum, wyznacz jej punkty krytyczne, czyli miejsca, w których pochodna jest równa zero albo nie istnieje. Następnie zbadaj znak pochodnej po obu stronach każdego z tych punktów. Zmiana znaku z „–” na „+” oznacza minimum lokalne, a z „+” na „–” maksimum lokalne.
Czym jest ekstremum funkcji?
Ekstremum lokalne to punkt, w którym wykres funkcji tworzy w swoim niewielkim otoczeniu lokalny dołek albo lokalną górkę. W minimum lokalnym wartości funkcji po obu stronach punktu są nie mniejsze od wartości w tym punkcie. W maksimum lokalnym są nie większe.
W tym poradniku chodzi o ekstrema lokalne. Nie należy ich mylić z ekstremami globalnymi, czyli najmniejszą lub największą wartością funkcji w całej dziedzinie. Funkcja może mieć lokalny szczyt, mimo że w innym miejscu przyjmuje jeszcze większe wartości.
Jak krok po kroku sprawdzić, czy funkcja ma ekstremum?
Badanie ekstremów funkcji jednej zmiennej można przeprowadzić według następującego algorytmu:
- Wyznacz dziedzinę funkcji – sprawdź, dla jakich argumentów wzór funkcji ma sens.
- Oblicz pochodną – ustal wzór funkcji pochodnej oraz jej dziedzinę.
- Znajdź punkty krytyczne – rozwiąż równanie f′(x) = 0 i dopisz punkty dziedziny funkcji, w których pochodna nie istnieje.
- Zbadaj znak pochodnej po lewej i prawej stronie każdego punktu krytycznego.
Punkt krytyczny jest tylko miejscem podejrzanym o występowanie ekstremum. Samo rozwiązanie równania f′(x) = 0 nie wystarcza. Dopiero zmiana znaku pochodnej rozstrzyga, czy rzeczywiście pojawia się maksimum albo minimum.
Jeśli pochodna zmienia znak z ujemnego na dodatni, funkcja najpierw maleje, a potem rośnie. Otrzymujemy wtedy minimum lokalne. Gdy znak zmienia się z dodatniego na ujemny, funkcja najpierw rośnie, a następnie maleje, więc mamy maksimum lokalne.
Dlaczego f′(x) = 0 to za mało?
Dla funkcji różniczkowalnej w punkcie, w którym występuje ekstremum lokalne, pochodna musi być równa zero. Jest to warunek konieczny znany jako twierdzenie Fermata. Nie jest to jednak warunek wystarczający.
Dobrym przykładem jest funkcja f(x) = x3. Jej pochodna wynosi f′(x) = 3x2, więc f′(0) = 0. Mimo to w punkcie x = 0 funkcja nie ma ani maksimum, ani minimum. Pochodna jest nieujemna po obu stronach zera, a funkcja cały czas rośnie. Punkt ten jest punktem przegięcia, nie ekstremum.
Różnicę między najczęstszymi sytuacjami pokazuje tabela:
| Sytuacja | Czy to ekstremum? | Wniosek |
|---|---|---|
| f′(x) = 0 i zmiana znaku pochodnej | Tak | „–” na „+” daje minimum, a „+” na „–” maksimum. |
| f′(x) = 0 i brak zmiany znaku | Nie musi nim być | Może wystąpić punkt przegięcia, jak dla f(x) = x3. |
| f′(x) nie istnieje i pochodna zmienia znak | Tak | Ekstremum może znajdować się w ostrym punkcie wykresu. |
Trzeba więc badać nie tylko punkty stacjonarne, w których pochodna jest równa zero, lecz także punkty nieróżniczkowalne. Dotyczy to między innymi funkcji zawierających wartość bezwzględną.
Jak zbadać ekstremum funkcji z wartością bezwzględną?
Rozważmy funkcję:
f(x) = 2 − |x|
Jej dziedziną są wszystkie liczby rzeczywiste. Wartość bezwzględną trzeba rozpatrzyć osobno dla liczb ujemnych i nieujemnych:
dla x < 0 mamy |x| = −x, więc f(x) = 2 + x,
dla x ≥ 0 mamy |x| = x, więc f(x) = 2 − x.
Dla x < 0 pochodna wynosi f′(x) = 1, natomiast dla x > 0 pochodna wynosi f′(x) = −1. W punkcie x = 0 pochodna nie istnieje, ponieważ pochodna lewostronna i prawostronna mają różne wartości.
Nie oznacza to jednak braku ekstremum. Sprawdzamy zachowanie funkcji po obu stronach zera:
- dla x < 0 pochodna jest dodatnia, więc funkcja rośnie,
- dla x > 0 pochodna jest ujemna, więc funkcja maleje,
- przy przejściu przez x = 0 znak pochodnej zmienia się z „+” na „–”.
Wniosek jest jednoznaczny: funkcja ma w punkcie x = 0 maksimum lokalne. Jego wartość wynosi f(0) = 2. W tym przykładzie maksimum jest także globalne, ponieważ dla każdego x zachodzi |x| ≥ 0, a więc 2 − |x| ≤ 2.
Analogicznie funkcja f(x) = |x| ma w punkcie x = 0 minimum globalne równe 0. Po lewej stronie zera jej pochodna wynosi −1, a po prawej 1. Znak zmienia się z „–” na „+”, co oznacza minimum. Mimo że pochodna w zerze nie istnieje, ekstremum istnieje.
W przypadku modułu trzeba więc najpierw znaleźć argument, dla którego wyrażenie wewnątrz wartości bezwzględnej jest równe zero. Taki punkt może być „ostrzem” wykresu i należy zbadać go osobno, zwykle przez rozpisanie funkcji na przedziały.
Na jakie błędy uważać?
Podczas badania ekstremów najczęściej pojawiają się następujące pomyłki:
- Pomijanie dziedziny funkcji i szukanie punktów krytycznych poza nią.
- Uznawanie każdego rozwiązania równania f′(x) = 0 za ekstremum.
- Pomijanie punktów, w których funkcja jest ciągła, ale pochodna nie istnieje.
- Błędne odczytywanie zmiany znaku pochodnej, zwłaszcza zamiana minimum z maksimum.
- Badanie wyłącznie wartości pochodnej w samym punkcie zamiast porównania jej znaków po obu stronach.
Najważniejsza zasada brzmi: punkt, w którym pochodna jest równa zero albo nie istnieje, jest dopiero kandydatem na ekstremum. O jego istnieniu decyduje zachowanie funkcji w otoczeniu tego punktu, a w metodzie pochodnej najczęściej rozstrzyga je zmiana znaku pochodnej.
