Jak obliczyć prawdopodobieństwo dla rozkładu normalnego?
Aby obliczyć prawdopodobieństwo dla rozkładu normalnego, najpierw standaryzujesz wartość za pomocą wzoru \(z=(x-\mu)/\sigma\), a następnie odczytujesz dystrybuantę \(\Phi(z)\) z tablic albo używasz funkcji arkusza kalkulacyjnego. Potrzebujesz średniej \(\mu\), odchylenia standardowego \(\sigma\) oraz wartości granicznej \(x\).
Jak wygląda obliczenie krok po kroku?
Załóżmy, że zmienna losowa \(X\) ma rozkład normalny \(N(\mu,\sigma)\). W niektórych podręcznikach drugi parametr jest zapisywany jako wariancja, dlatego przed rozpoczęciem obliczeń sprawdź, czy podana wartość oznacza \(\sigma\), czy \(\sigma^2\).
Procedura dla pojedynczej wartości granicznej wygląda następująco:
- Ustal parametry rozkładu – znajdź średnią \(\mu\) i odchylenie standardowe \(\sigma\).
- Podstaw dane do wzoru \(z=\frac{x-\mu}{\sigma}\).
- Odczytaj \(\Phi(z)\) z tablic standardowego rozkładu normalnego albo oblicz ją w arkuszu.
- Dopasuj wynik do nierówności – dla prawego ogona odejmij dystrybuantę od 1, a dla przedziału odejmij dwie wartości dystrybuanty.
Wartość \(z\), czyli z-score, informuje, o ile odchyleń standardowych punkt \(x\) leży od średniej. Wynik dodatni oznacza wartość powyżej średniej, a ujemny – poniżej niej.
Standaryzacja i dystrybuanta
Standaryzacja sprowadza zmienną \(X\) o rozkładzie \(N(\mu,\sigma)\) do zmiennej \(Z\) o standardowym rozkładzie normalnym \(N(0,1)\):
\[
Z=\frac{X-\mu}{\sigma}
\]
Dystrybuanta \(\Phi(z)\) oznacza prawdopodobieństwo, że standardowa zmienna losowa przyjmie wartość nie większą niż \(z\):
\[
\Phi(z)=P(Z\leq z)
\]
Przykład: niech \(X\sim N(150,15)\), a interesuje nas prawdopodobieństwo \(P(X\leq160)\). Najpierw obliczamy:
\[
z=\frac{160-150}{15}=\frac{10}{15}\approx0{,}67
\]
Z tablic odczytujemy \(\Phi(0{,}67)\approx0{,}7486\). Zatem:
\[
P(X\leq160)\approx0{,}7486
\]
Oznacza to, że około 74,86% wartości nie przekracza 160.
Jak przekształcać różne nierówności?
Po obliczeniu odpowiednich wartości z-score wybierz wzór odpowiadający treści zadania:
| Nierówność | Wzór | Znaczenie |
|---|---|---|
| \(P(X\leq a)\) | \(\Phi(z_a)\) | Pole na lewo od \(a\) |
| \(P(X>a)\) | \(1-\Phi(z_a)\) | Pole na prawo od \(a\) |
| \(P(a<X<b)\) | \(\Phi(z_b)-\Phi(z_a)\) | Pole pomiędzy dwiema wartościami |
| \(P(|X-\mu|<c)\) | \(\Phi(c/\sigma)-\Phi(-c/\sigma)\) | Przedział symetryczny wokół średniej |
W rozkładzie ciągłym nie ma różnicy między zapisami \(P(X<a)\) i \(P(X\leq a)\), ponieważ:
\[
P(X=a)=0
\]
Jeśli z-score jest ujemny, skorzystaj z symetrii dystrybuanty:
\[
\Phi(-z)=1-\Phi(z)
\]
Na przykład dla \(z=-0{,}67\):
\[
\Phi(-0{,}67)=1-\Phi(0{,}67)=1-0{,}7486=0{,}2514
\]
Jak obliczyć prawdopodobieństwo w Excelu lub Google Sheets?
Arkusz kalkulacyjny może obliczyć dystrybuantę bez ręcznego korzystania z tablic. W polskiej wersji Excela stosuje się funkcje z argumentem PRAWDA, który oznacza obliczenie dystrybuanty, a nie gęstości w pojedynczym punkcie.
| Funkcja | Zastosowanie | Argumenty |
|---|---|---|
ROZKŁAD.NORMALNY.S.N(z;PRAWDA) |
Dystrybuanta standardowego rozkładu \(N(0,1)\) | z-score i wartość logiczna PRAWDA |
ROZKŁAD.NORMALNY.N(x;średnia;odchylenie;PRAWDA) |
Dystrybuanta rozkładu o dowolnych parametrach | x, \(\mu\), \(\sigma\), PRAWDA |
ROZKŁAD.NORMALNY.ODW(p;średnia;odchylenie) |
Wartość graniczna odpowiadająca podanemu prawdopodobieństwu | p, \(\mu\), \(\sigma\) |
ROZKŁAD.NORMALNY.S.ODW(p) |
Odwrotność dystrybuanty standardowego rozkładu | p |
Dla przykładu \(X\sim N(150,15)\) prawdopodobieństwo \(P(X\leq160)\) obliczysz formułą:
=ROZKŁAD.NORMALNY.N(160;150;15;PRAWDA)
Wynik będzie równy około \(0{,}7486\). Prawdopodobieństwo wartości większej niż 160 wymaga odjęcia wyniku od 1:
=1-ROZKŁAD.NORMALNY.N(160;150;15;PRAWDA)
Możesz też najpierw obliczyć z-score, a potem użyć funkcji dla rozkładu standardowego:
=ROZKŁAD.NORMALNY.S.N((160-150)/15;PRAWDA)
W zależności od wersji programu oraz ustawień językowych nazwy funkcji mogą być zapisane po angielsku, na przykład NORM.DIST lub NORM.S.DIST, a separatorem argumentów może być przecinek zamiast średnika.
Na co uważać przy obliczeniach?
Najczęstsze błędy wynikają nie z samego wzoru, lecz z niewłaściwej interpretacji parametrów i tablic:
- Wariancja i odchylenie standardowe – jeśli podano \(\sigma^2\), przed użyciem wzoru oblicz \(\sigma=\sqrt{\sigma^2}\).
- Ujemny z-score – nie zmieniaj go bez uzasadnienia na dodatni, tylko zastosuj \(\Phi(-z)=1-\Phi(z)\).
- Gęstość a dystrybuanta – wartość funkcji gęstości w punkcie nie jest prawdopodobieństwem zajścia dokładnie tego punktu.
- Prawdopodobieństwo w jednym punkcie – dla zmiennej ciągłej \(P(X=x)=0\), nawet jeśli gęstość w tym miejscu jest dodatnia.
- Prawy ogon rozkładu – dla \(P(X>a)\) użyj \(1-\Phi(z_a)\), a nie samej wartości \(\Phi(z_a)\).
Najkrótszy schemat do zapamiętania jest więc następujący: ustal \(\mu\) i \(\sigma\), oblicz z-score, odczytaj dystrybuantę i dopasuj wzór do nierówności. W tablicach przydaje się symetria, a w Excelu lub Google Sheets cały rachunek można wykonać bezpośrednio za pomocą funkcji rozkładu normalnego.
