Jak obliczyć odchylenie standardowe? Poradnik krok po kroku
Odchylenie standardowe mierzy rozproszenie danych wokół średniej arytmetycznej. Oblicza się je jako pierwiastek kwadratowy z wariancji. Najpierw trzeba ustalić, czy analizowany zbiór obejmuje całą populację, czy tylko próbę – od tego zależy, czy dzielisz przez N, czy przez n − 1.
Jak obliczyć odchylenie standardowe ręcznie?
Załóżmy, że analizujesz wartości 1, 2 i 3. Chcesz obliczyć odchylenie standardowe całej populacji, więc w mianowniku użyjesz liczby obserwacji, czyli N = 3.
Obliczenia wykonuje się w pięciu krokach:
- Oblicz średnią arytmetyczną – dodaj wszystkie wartości i podziel sumę przez ich liczbę. Dla danych 1, 2 i 3 średnia wynosi 2.
- Oblicz różnice od średniej – odejmij średnią od każdej wartości. Otrzymasz: −1, 0 i 1.
- Podnieś różnice do kwadratu – wyniki to 1, 0 i 1.
- Oblicz wariancję – zsumuj kwadraty różnic i podziel przez liczbę obserwacji.
- Wyciągnij pierwiastek kwadratowy z otrzymanej wariancji.
Dla całej populacji wzór wygląda tak:
σ = √[Σ(xᵢ − μ)² / N]
W przykładzie:
σ = √[(1 − 2)² + (2 − 2)² + (3 − 2)²) / 3] = √(2 / 3) ≈ 0,82
Wartość 0,82 oznacza, że dane są przeciętnie oddalone od średniej o około 0,82 jednostki. Wariancja jest etapem pośrednim obliczeń. Odchylenie standardowe powstaje dopiero po wyciągnięciu pierwiastka z wariancji.
Populacja a próba – który wzór wybrać?
Gdy analizujesz wszystkie obiekty, które Cię interesują, używasz wzoru dla populacji i dzielisz sumę kwadratów różnic przez N. Jeśli masz tylko część większej zbiorowości i na jej podstawie szacujesz parametry całej populacji, stosujesz wzór dla próby:
s = √[Σ(xᵢ − x̄)² / (n − 1)]
Różnica nie dotyczy kolejności kroków, lecz mianownika. W próbie stosuje się n − 1, ponieważ wynik ma oszacować zmienność większej populacji na podstawie niepełnych danych.
Jak obliczyć odchylenie standardowe w Excelu?
W Excelu nie trzeba wykonywać każdego działania osobno. Wystarczy zaznaczyć zakres komórek zawierający dane i użyć funkcji odpowiadającej rodzajowi zbioru:
| Nazwa funkcji | Kiedy stosować? | Uwagi |
|---|---|---|
| ODCH.STANDARD.POPUL | Gdy dane obejmują całą populację | W obliczeniach stosuje dzielenie przez N |
| ODCH.STANDARD.PRÓBKI | Gdy dane są próbą większej populacji | W obliczeniach stosuje dzielenie przez n − 1 |
| ODCH.STANDARDOWE | W starszych arkuszach lub dla zgodności z wcześniejszymi wersjami | Jest funkcją dla próby i korzysta z metody n − 1 |
Przykładowe formuły mogą wyglądać tak:
=ODCH.STANDARD.POPUL(A2:A11)
=ODCH.STANDARD.PRÓBKI(A2:A11)
Jeśli komórki od A2 do A11 zawierają wszystkie analizowane pomiary, wybierz funkcję populacyjną. Jeżeli są tylko częścią większego zbioru, użyj funkcji dla próby. Pomylenie tych funkcji jest jednym z najczęstszych błędów, ponieważ oba wyniki mogą wyglądać podobnie, ale opierają się na innym założeniu.
Co oznacza wynik odchylenia standardowego?
Sam wynik nie mówi, czy dane są „dobre” albo „złe”. Pokazuje, jak mocno wartości różnią się między sobą w odniesieniu do średniej. Interpretacja zależy też od jednostki, w której zapisano dane, oraz od skali średniej.
Najważniejsze znaczenia wyniku są następujące:
- Niskie odchylenie standardowe oznacza, że wartości są skupione blisko średniej i zbiór jest bardziej stabilny.
- Wysokie odchylenie standardowe oznacza większy rozrzut danych i większą zmienność obserwowanego zjawiska.
- Odchylenie równe zero występuje wtedy, gdy wszystkie wartości są identyczne.
- Wartości skrajne mogą wyraźnie zwiększyć wynik, ponieważ różnice od średniej są podnoszone do kwadratu.
Przykładowo, podobne wynagrodzenia pracowników dadzą niskie odchylenie, nawet jeśli ich średnia pensja jest wysoka. Z kolei duża różnica między najniższą a najwyższą pensją zwiększy rozproszenie. W analizie inwestycji wysokie odchylenie standardowe stóp zwrotu oznacza większe wahania wyników, a więc zwykle także większą zmienność i ryzyko.
Nie należy jednak porównywać samych odchyleń bez uwzględnienia skali danych. Odchylenie 100 zł ma inne znaczenie przy średniej pensji 3000 zł, a inne przy średniej 30 000 zł. W takich porównaniach można rozważyć współczynnik zmienności, czyli relację odchylenia standardowego do średniej wyrażoną procentowo.
Najważniejsza zasada jest prosta: najpierw oblicz średnią, potem kwadraty różnic i wariancję, a na końcu wyciągnij pierwiastek. W Excelu wybierz funkcję populacyjną dla pełnego zbioru danych, a funkcję dla próby wtedy, gdy analizujesz tylko jego część.
