Jak obliczyć najmniejszą wspólną wielokrotność trzech liczb?
NWW trzech liczb obliczysz przez rozkład każdej z nich na czynniki pierwsze. Następnie dla każdego czynnika wybierz najwyższą występującą potęgę i pomnóż wybrane potęgi. Wzór \(\frac{a \cdot b}{NWD(a,b)}\) dotyczy bezpośrednio tylko dwóch liczb.
Dlaczego wzór na dwie liczby nie wystarcza?
Najmniejsza wspólna wielokrotność to najmniejsza dodatnia liczba, która dzieli się bez reszty przez każdą z rozpatrywanych liczb. Z kolei NWD, czyli największy wspólny dzielnik, jest największą liczbą dzielącą wszystkie dane liczby.
Dla dwóch liczb zachodzi zależność:
\[
NWW(a,b)=\frac{a\cdot b}{NWD(a,b)}
\]
Przy trzech liczbach nie można po prostu wybrać dowolnych dwóch i uznać wyniku za NWW całego zestawu. Można jednak obliczać NWW parami, stosując metodę rekurencyjną. Najbardziej przejrzysty sposób ręczny stanowi zwykle rozkład na czynniki pierwsze.
Jak obliczyć NWW trzech liczb krok po kroku?
Postępuj według następującej procedury:
- Rozłóż każdą liczbę na czynniki pierwsze – rozpisz ją jako iloczyn liczb pierwszych.
- Zapisz rozkłady w postaci potęgowej – na przykład \(12=2^2\cdot3\).
- Zbierz wszystkie liczby pierwsze, które pojawiają się w którymkolwiek rozkładzie.
- Wybierz najwyższą potęgę każdego czynnika – właśnie ona musi znaleźć się w NWW.
- Pomnóż wybrane potęgi – otrzymasz najmniejszą wspólną wielokrotność.
Najważniejsza reguła brzmi: dla NWW wybierasz najwyższy wykładnik przy każdym czynniku pierwszym. Dla NWD wybiera się odwrotnie, czyli najniższy wykładnik wspólny dla wszystkich liczb.
Przykład: NWW liczb 12, 18 i 20
Najpierw rozkładamy liczby na czynniki pierwsze:
\[
12=2^2\cdot3
\]
\[
18=2\cdot3^2
\]
\[
20=2^2\cdot5
\]
Teraz porównujemy wykładniki każdego czynnika pierwszego:
| Liczba | Rozkład na czynniki | Wybrane czynniki do NWW |
|---|---|---|
| 12 | \(2^2\cdot3\) | \(2^2\), \(3\) |
| 18 | \(2\cdot3^2\) | \(2\), \(3^2\) |
| 20 | \(2^2\cdot5\) | \(2^2\), \(5\) |
| Wynik | Najwyższe potęgi | \(2^2\cdot3^2\cdot5\) |
Dla czynnika \(2\) najwyższa potęga to \(2^2\). Dla czynnika \(3\) wybieramy \(3^2\), ponieważ występuje w rozkładzie liczby 18. Czynnik \(5\) pojawia się tylko przy liczbie 20, ale również musi zostać uwzględniony.
\[
NWW(12,18,20)=2^2\cdot3^2\cdot5
\]
\[
NWW(12,18,20)=4\cdot9\cdot5=\mathbf{180}
\]
Liczba 180 dzieli się bez reszty przez 12, 18 i 20. Żaden mniejszy dodatni wynik nie spełnia wszystkich trzech warunków.
Najczęstsze błędy i metoda alternatywna
Podczas obliczeń zwróć uwagę na kilka typowych pomyłek:
- Wybieranie najniższej potęgi – to reguła używana przy NWD, nie przy NWW.
- Pomijanie czynnika występującego tylko w jednej liczbie – taki czynnik nadal musi trafić do wyniku.
- Mnożenie wszystkich liczb przez siebie – otrzymasz wspólną wielokrotność, ale niekoniecznie najmniejszą.
- Mylenie NWW z NWD – NWW jest co najmniej tak duże jak największa z danych liczb, a NWD nie przekracza najmniejszej.
Możesz też użyć metody rekurencyjnej:
\[
NWW(a,b,c)=NWW(NWW(a,b),c)
\]
Najpierw obliczasz NWW dwóch liczb, a potem traktujesz otrzymany wynik jako pierwszą liczbę w kolejnym obliczeniu. Przykładowo:
\[
NWW(12,18,20)=NWW(NWW(12,18),20)
\]
Najpierw wyznaczasz \(NWW(12,18)\), a następnie liczysz NWW otrzymanego wyniku i liczby 20. Metoda jest poprawna także dla większej liczby argumentów, lecz przy obliczeniach ręcznych może wymagać większej liczby działań. Rozkład na czynniki pierwsze pozwala od razu zobaczyć, które potęgi należy wybrać.
Zapamiętaj: rozłóż wszystkie liczby na czynniki pierwsze, przy każdym czynniku wybierz najwyższą potęgę, a następnie pomnóż te potęgi. To uniwersalna metoda obliczania NWW dla trzech i większej liczby liczb.
Artykuł nie stanowi porady inwestycyjnej lub finansowej
