Jak obliczyć kąty w trójkącie?
To, jak obliczyć kąty w trójkącie, zależy od posiadanych danych. Przy dwóch znanych kątach użyj sumy kątów, przy trzech bokach – twierdzenia cosinusów, a przy kombinacji boków i kątów – twierdzenia sinusów lub cosinusów. Kalkulator ustaw na stopnie, czyli tryb DEG.
Którego wzoru użyć?
| Posiadane dane | Metoda | Kluczowy wzór |
|---|---|---|
| Dwa kąty | Suma kątów w trójkącie | α + β + γ = 180° |
| Trzy boki | Twierdzenie cosinusów | cos(γ) = (a² + b² − c²) / (2ab) |
| Dwa boki i kąt między nimi | Twierdzenie cosinusów, a następnie suma kątów | c² = a² + b² − 2ab cos(γ) |
| Bok i kąt naprzeciwko niego oraz drugi bok lub kąt | Twierdzenie sinusów | a / sin(α) = b / sin(β) = c / sin(γ) |
Podstawowe wzory na kąty w trójkącie
Oznaczmy boki trójkąta przez a, b, c, a kąty leżące naprzeciwko nich przez α, β, γ. Trzeba zachować tę odpowiedniość, ponieważ bok a leży naprzeciw kąta α, bok b naprzeciw β, a bok c naprzeciw γ.
Najważniejsze zależności to:
- Suma kątów – α + β + γ = 180°.
- Twierdzenie cosinusów – c² = a² + b² − 2ab cos(γ).
- Twierdzenie sinusów – a / sin(α) = b / sin(β) = c / sin(γ).
Suma kątów w trójkącie
Jeżeli znasz dwa kąty, trzeci obliczysz przez odejmowanie od 180°. Na przykład:
γ = 180° − α − β
To najprostsza metoda i nie wymaga funkcji trygonometrycznych.
Twierdzenie cosinusów
Twierdzenie cosinusów jest właściwym wyborem, gdy znasz długości wszystkich trzech boków. Z równania:
c² = a² + b² − 2ab cos(γ)
wyznaczamy:
cos(γ) = (a² + b² − c²) / (2ab)
Następnie stosujemy funkcję odwrotną:
γ = arccos((a² + b² − c²) / (2ab))
Analogicznie można obliczyć pozostałe kąty:
α = arccos((b² + c² − a²) / (2bc))
β = arccos((a² + c² − b²) / (2ac))
Funkcja arccos, nazywana arcus cosinusem, zwraca kąt, którego cosinus ma podaną wartość. Nie należy mylić jej ze zwykłym cosinusem.
Twierdzenie sinusów
Twierdzenie sinusów przydaje się wtedy, gdy znasz przynajmniej jedną parę składającą się z boku i kąta leżącego naprzeciwko niego. Dla przykładu, jeśli znasz a, α oraz b, możesz obliczyć kąt β:
sin(β) = b · sin(α) / a
a następnie:
β = arcsin(b · sin(α) / a)
Funkcja arcsin jest odwrotnością sinusa. W niektórych konfiguracjach równanie sinusów może prowadzić do dwóch możliwych kątów, dlatego wynik trzeba sprawdzić z warunkiem α + β + γ = 180°.
Jak obliczyć kąty, mając trzy boki?
Załóżmy, że długości boków wynoszą 4, 5 i 7. Przyjmijmy, że bok c = 7, a boki przylegające do szukanego kąta γ mają długości a = 4 i b = 5.
Postępuj według następujących kroków:
- Podstaw dane do twierdzenia cosinusów. Otrzymujesz cos(γ) = (4² + 5² − 7²) / (2 · 4 · 5).
- Wykonaj działania. cos(γ) = (16 + 25 − 49) / 40 = −8 / 40 = −0,2.
- Zastosuj arcus cosinus. γ = arccos(−0,2) ≈ 101,54°.
- Oblicz pozostałe kąty tym samym sposobem albo użyj twierdzenia cosinusów dla drugiego kąta, a ostatni wyznacz z sumy 180°.
- Sprawdź wynik. Suma trzech otrzymanych kątów powinna wynosić 180°, z uwzględnieniem zaokrąglenia.
Dla drugiego kąta, na przykład naprzeciw boku długości 5, można użyć wzoru:
β = arccos((4² + 7² − 5²) / (2 · 4 · 7))
Ostatni kąt najwygodniej obliczyć jako α = 180° − β − γ. Takie postępowanie ogranicza liczbę zaokrągleń.
Na co uważać przy obliczeniach?
Najczęstszy błąd wynika z ustawienia kalkulatora w radianach zamiast w stopniach. Jeżeli wynik ma być podany w stopniach, wybierz tryb DEG. Sprawdź też, czy poprawnie przypisałeś bok do kąta leżącego naprzeciwko niego.
W przypadku trzech boków twierdzenie cosinusów nie wymaga wcześniejszego obliczania pola. Wzór Herona i twierdzenie sinusów również mogą prowadzić do wyniku, ale metoda cosinusów jest bezpośrednia i pozwala od razu wyznaczyć każdy kąt.
Przy dwóch znanych kątach wystarczy odjąć ich sumę od 180°. Gdy dane obejmują boki oraz kąty, dobierz twierdzenie na podstawie tego, czy znasz parę „bok i kąt naprzeciwko”, oraz czy podany kąt leży między znanymi bokami.
Najważniejsza zasada: trzy boki oznaczają zwykle twierdzenie cosinusów, bok z kątem naprzeciwko niego wskazuje na twierdzenie sinusów, a dwa znane kąty wymagają tylko użycia sumy 180°. Po obliczeniu funkcji odwrotnej zawsze sprawdź tryb DEG oraz sumę wszystkich kątów.
