Jak obliczyć prawdopodobieństwo warunkowe?

Prawdopodobieństwo warunkowe P(A|B) określa szansę zajścia zdarzenia A, gdy wiadomo, że zdarzenie B już zaszło. Oblicza się je ze wzoru P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B), przy czym P(B) musi być większe od zera.

Czym jest prawdopodobieństwo warunkowe?

W zwykłym prawdopodobieństwie rozpatrujemy wszystkie możliwe wyniki doświadczenia. W prawdopodobieństwie warunkowym otrzymujemy dodatkową informację: wiemy, że zaszło zdarzenie B. Ta informacja zawęża przestrzeń rozpatrywanych możliwości.

Symbol P(A|B) czytamy jako „prawdopodobieństwo zdarzenia A pod warunkiem zajścia zdarzenia B”. Standardowy wzór ma postać:

P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)

Symbol A ∩ B oznacza iloczyn zdarzeń, czyli sytuację, w której jednocześnie zachodzą A i B. W mianowniku znajduje się P(B), ponieważ warunek B staje się nowym punktem odniesienia. Wzór ma sens tylko wtedy, gdy P(B) > 0. Gdy P(B) = 0, prawdopodobieństwo warunkowe w tej postaci jest niezdefiniowane.

Nie należy utożsamiać P(A|B) z P(A). To pierwsze prawdopodobieństwo uwzględnia dodatkową informację, więc może być mniejsze, większe albo równe P(A), zależnie od związku między zdarzeniami.

Jak obliczać prawdopodobieństwo warunkowe?

Można zastosować dwie równoważne metody. Wybór zależy od treści zadania i od tego, czy łatwiej obliczyć prawdopodobieństwa, czy policzyć wyniki w zawężonej przestrzeni.

W modelu klasycznym, gdy wszystkie wyniki są jednakowo prawdopodobne, druga metoda sprowadza się do obliczenia:

P(A|B) = liczba wyników sprzyjających jednocześnie A i B / liczba wyników sprzyjających B

Przykład z kostką krok po kroku

Rzucamy sześcienną kostką. Oblicz prawdopodobieństwo, że wypadła liczba parzysta, jeśli wiadomo, że wypadła liczba większa od 3.

Definicja zdarzeń

Niech:

• A – wypadła liczba parzysta
• B – wypadła liczba większa od 3

Przestrzeń wszystkich wyników rzutu to Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Zdarzenie A obejmuje wyniki {2, 4, 6}, a zdarzenie B wyniki {4, 5, 6}.

Wyznaczenie iloczynu zdarzeń

Iloczyn A ∩ B obejmuje wyniki, które są jednocześnie parzyste i większe od 3. Zatem:

A ∩ B = {4, 6}

Stąd:

P(A ∩ B) = 2/6, a P(B) = 3/6.

Podstawienie do wzoru

Podstawiamy wartości do definicji:

P(A|B) = (2/6) / (3/6) = 2/3

Wynik można otrzymać także przez redukcję przestrzeni. Skoro wiadomo, że wypadła liczba większa od 3, rozpatrujemy już tylko {4, 5, 6}. Spośród tych trzech wyników dwa są parzyste, więc P(A|B) = 2/3.

To przykład sytuacji, w której informacja o zdarzeniu B zmienia przestrzeń możliwości. Bez warunku prawdopodobieństwo wyrzucenia liczby parzystej wynosi 3/6, czyli 1/2. Po uwzględnieniu warunku rośnie do 2/3.

Drugi przykład – karty

Z talii 52 kart losujemy jedną kartę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że będzie królem, jeśli wiadomo, że jest kierem?

Oznaczmy:

• A – wylosowana karta jest królem
• B – wylosowana karta jest kierem

Po uwzględnieniu warunku B nie rozpatrujemy już całej talii, lecz tylko 13 kierów. Wśród nich znajduje się dokładnie jeden król kier. Zatem:

P(A|B) = 1/13

W tym zadaniu redukcja przestrzeni jest prostsza niż obliczanie osobno P(A ∩ B) i P(B), ale obie metody dałyby ten sam wynik.

Na co uważać przy obliczeniach?

Najczęstsze pomyłki wynikają z niewłaściwego odczytania warunku albo z pomieszania kolejności zdarzeń:

• Pomylenie P(A|B) z P(B|A), ponieważ zmiana kolejności zdarzeń na ogół zmienia wynik.
• Błędne wyznaczenie iloczynu A ∩ B, który obejmuje tylko wyniki spełniające oba warunki jednocześnie.
• Użycie całej przestrzeni wyników zamiast ograniczenia jej do zdarzenia B.
• Pominięcie warunku P(B) > 0 i dzielenie przez zero.
• Traktowanie P(A|B) jako zwykłego P(A), mimo że informacja o B zmienia zakres rozpatrywanych możliwości.

Najbezpieczniejszy schemat rozwiązania to najpierw jasno zdefiniować A i B, następnie wyznaczyć A ∩ B oraz B, a na końcu zastosować wzór. W prostych zadaniach z jednakowo prawdopodobnymi wynikami można zamiast tego ograniczyć przestrzeń do wyników zgodnych z warunkiem.