Jak obliczyć prawdopodobieństwo całkowite?

Prawdopodobieństwo całkowite pozwala obliczyć szansę zdarzenia, które może wystąpić na kilka rozłącznych sposobów. W praktyce wyznaczasz prawdopodobieństwo każdej możliwej ścieżki, a następnie sumujesz otrzymane wyniki.

Czym jest prawdopodobieństwo całkowite?

Załóżmy, że zdarzenie A może nastąpić w kilku różnych scenariuszach. Przykładowo, losujesz kulę z jednej z dwóch urn. Wynik zależy więc od tego, z której urny pochodzi losowanie. Każdy taki scenariusz nazywamy hipotezą.

Prawdopodobieństwo całkowite działa według zasady „podziel i zsumuj”. Najpierw rozpatrujesz wszystkie możliwe, wzajemnie wykluczające się drogi prowadzące do zdarzenia A. Potem liczysz prawdopodobieństwo każdej drogi i dodajesz je do siebie.

W zadaniach wieloetapowych pomocne bywa drzewo stochastyczne. Pojedyncza gałąź drzewa opisuje jeden scenariusz, a jej prawdopodobieństwo oblicza się przez mnożenie prawdopodobieństw zapisanych na kolejnych odcinkach.

Wzór na prawdopodobieństwo całkowite

Jeżeli zdarzenia \(B_1, B_2, \ldots, B_n\) tworzą podział przestrzeni wszystkich wyników, to:

\(P(A)=P(A|B_1)\cdot P(B_1)+P(A|B_2)\cdot P(B_2)+\ldots+P(A|B_n)\cdot P(B_n)\)

Symbol \(P(A|B_i)\) oznacza prawdopodobieństwo zdarzenia A pod warunkiem, że zaszła hipoteza \(B_i\). Jest to prawdopodobieństwo warunkowe. Formalnie, dla \(P(B_i)>0\):

\(P(A|B_i)=\frac{P(A\cap B_i)}{P(B_i)}\)

Wzór na prawdopodobieństwo całkowite można zastosować wtedy, gdy hipotezy spełniają dwa warunki:

• Są rozłączne – dwie różne hipotezy nie mogą wystąpić jednocześnie.
• Są wyczerpujące – obejmują wszystkie możliwe scenariusze, więc \(P(B_1)+P(B_2)+\ldots+P(B_n)=1\).

Nie należy mylić prawdopodobieństwa całkowitego z warunkowym. Prawdopodobieństwo warunkowe opisuje szansę A przy założeniu, że znamy zajście B. Prawdopodobieństwo całkowite pozwala natomiast obliczyć \(P(A)\), gdy rozbijemy zdarzenie na kilka hipotez.

Jak obliczyć prawdopodobieństwo całkowite krok po kroku?

Najłatwiej postępować według stałego schematu. Tabela pokazuje, co należy zrobić na każdym etapie:

W praktyce możesz zapisać rozwiązanie także w postaci krótkiej instrukcji:

1. Zdefiniuj zdarzenie A, którego prawdopodobieństwo chcesz obliczyć.
2. Podziel wszystkie możliwości na rozłączne hipotezy.
3. Przypisz każdej hipotezie jej prawdopodobieństwo.
4. Oblicz prawdopodobieństwo warunkowe A dla każdej hipotezy.
5. Wstaw wartości do wzoru i dodaj prawdopodobieństwa cząstkowe.

Jeżeli zadanie ma kilka etapów, narysuj drzewo stochastyczne. Prawdopodobieństwo każdej kompletnej gałęzi otrzymasz z reguły iloczynu, a prawdopodobieństwo zdarzenia obejmującego kilka gałęzi – z reguły sumy.

Przykład – dwie urny z kulami

Załóżmy, że losujemy jedną kulę. Najpierw wybieramy losowo jedną z dwóch urn, każdą z prawdopodobieństwem \(\frac{1}{2}\). W urnie pierwszej znajduje się 7 kul, w tym 3 białe. W urnie drugiej jest 10 kul, w tym 6 białych. Obliczmy prawdopodobieństwo wylosowania białej kuli.

Oznaczmy:

• \(A\) – wylosowanie białej kuli.
• \(B_1\) – wybranie pierwszej urny.
• \(B_2\) – wybranie drugiej urny.

Znamy prawdopodobieństwa hipotez:

\(P(B_1)=\frac{1}{2}\), ponieważ wybór pierwszej urny jest równie prawdopodobny jak wybór drugiej, oraz \(P(B_2)=\frac{1}{2}\).

Znamy też prawdopodobieństwa warunkowe:

\(P(A|B_1)=\frac{3}{7}\), a \(P(A|B_2)=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}\).

Podstawiamy dane do wzoru:

\[
P(A)=P(A|B_1)\cdot P(B_1)+P(A|B_2)\cdot P(B_2)
\]

\[
P(A)=\frac{3}{7}\cdot\frac{1}{2}+\frac{3}{5}\cdot\frac{1}{2}
\]

\[
P(A)=\frac{3}{14}+\frac{3}{10}
=\frac{15}{70}+\frac{21}{70}
=\frac{36}{70}
=\frac{18}{35}
\]

Prawdopodobieństwo wylosowania białej kuli wynosi więc \(\frac{18}{35}\).

Na drzewie stochastycznym byłyby dwie gałęzie pierwszego poziomu, odpowiadające wyborowi urny. Z każdej z nich wychodziłaby gałąź oznaczająca wylosowanie białej kuli. Mnożymy prawdopodobieństwa na każdej z tych dwóch ścieżek, a następnie dodajemy wyniki.

Na czym polega najczęstszy błąd?

Najczęściej błędnie definiuje się hipotezy albo pomija jedną z możliwych dróg. Przed użyciem wzoru sprawdź, czy hipotezy nie nakładają się na siebie i czy obejmują wszystkie przypadki.

Zapamiętaj też kolejność działań: najpierw mnożysz \(P(A|B_i)\) przez \(P(B_i)\), a dopiero potem sumujesz otrzymane iloczyny. Dzięki temu prawdopodobieństwo całkowite sprowadza złożone zadanie do analizy kilku prostych ścieżek.

Najważniejsza zasada brzmi: prawdopodobieństwo całkowite jest sumą prawdopodobieństw wszystkich rozłącznych dróg prowadzących do zdarzenia.