Jak rozwiązać równanie 3 stopnia?

Równanie trzeciego stopnia ma postać \(ax^3+bx^2+cx+d=0\), gdzie \(a\neq 0\). Najpierw szukaj prostego rozkładu na czynniki, a dopiero gdy ta droga zawiedzie, sięgnij po wzory Cardano.

Czym jest równanie 3. stopnia?

Równanie sześcienne to równanie, w którym najwyższa potęga niewiadomej wynosi trzy. Współczynniki \(a\), \(b\), \(c\) i \(d\) mogą być rzeczywiste lub zespolone, ale w zadaniach szkolnych najczęściej rozpatruje się współczynniki rzeczywiste.

W przeciwieństwie do równania kwadratowego nie korzysta się tu z jednego prostego wzoru opartego na delcie. Równanie trzeciego stopnia może mieć jeden, dwa lub trzy różne pierwiastki rzeczywiste. Dlatego rozwiązanie najlepiej prowadzić etapami: najpierw sprawdzić rozkład na czynniki, a dopiero później stosować bardziej złożoną metodę Cardano.

Jak rozwiązać równanie 3. stopnia metodami szkolnymi?

W wielu zadaniach nie trzeba używać wzorów Cardano. Wielomian można rozłożyć na czynniki, a następnie wykorzystać zasadę, że iloczyn jest równy zeru wtedy i tylko wtedy, gdy przynajmniej jeden z jego czynników jest równy zeru.

Najczęściej przydają się następujące sposoby:

• Wyłączenie wspólnego czynnika – szukasz potęgi \(x\) lub liczby występującej w każdym wyrazie.
• Grupowanie wyrazów – łączysz wyrazy w pary tak, aby po wyłączeniu czynników powstał wspólny nawias.
• Wzory skróconego mnożenia – rozpoznajesz między innymi różnicę sześcianów lub sumę sześcianów.
• Twierdzenie Bézouta – sprawdzasz, czy wielomian ma pierwiastek całkowity lub wymierny, a następnie dzielisz go przez odpowiedni dwumian.

Wyłączanie wspólnego czynnika

Przykład:

\[
x^3-4x=0
\]

Wspólnym czynnikiem jest \(x\), więc:

\[
x(x^2-4)=0
\]

Różnicę kwadratów rozkładamy dalej:

\[
x(x-2)(x+2)=0
\]

Stąd otrzymujemy rozwiązania:

\[
x=0,\qquad x=2,\qquad x=-2
\]

Grupowanie wyrazów

Rozważmy równanie:

\[
x^3+4x^2-5x-20=0
\]

Wyrazy można połączyć w pary:

\[
x^2(x+4)-5(x+4)=0
\]

Wspólny nawias daje postać iloczynową:

\[
(x^2-5)(x+4)=0
\]

Zatem:

\[
x^2-5=0\quad\text{lub}\quad x+4=0
\]

Rozwiązaniami są:

\[
x=\sqrt5,\qquad x=-\sqrt5,\qquad x=-4
\]

Wzory skróconego mnożenia

Dla równań sześciennych szczególnie przydatne są wzory:

\[
a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)
\]

oraz

\[
a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)
\]

Na przykład:

\[
x^3-8=0
\]

można zapisać jako:

\[
(x-2)(x^2+2x+4)=0
\]

W liczbach rzeczywistych trójmian \(x^2+2x+4\) nie ma pierwiastków, ponieważ jego wyróżnik jest ujemny. Jedynym rzeczywistym rozwiązaniem całego równania jest więc \(x=2\).

Sprawdzenie pierwiastków i twierdzenie Bézouta

Jeżeli współczynniki są całkowite, potencjalnych pierwiastków całkowitych szuka się wśród dzielników wyrazu wolnego. Dla wielomianu:

\[
W(x)=2x^3-7x^2-20x+25
\]

można sprawdzić liczby \(1\), \(-1\), \(5\) i \(-5\). Ponieważ:

\[
W(5)=0
\]

liczba \(5\) jest pierwiastkiem. Z twierdzenia Bézouta wynika, że wielomian jest podzielny przez \(x-5\). Dzielenie, na przykład schematem Hornera, prowadzi do:

\[
2x^3-7x^2-20x+25=(x-5)(2x^2+3x-5)
\]

Pozostaje rozwiązać równanie kwadratowe \(2x^2+3x-5=0\). Ostatecznie:

\[
x=5,\qquad x=1,\qquad x=-\frac52
\]

Nie dziel równania przez \(x\), jeśli nie sprawdziłeś wcześniej, czy \(x=0\) może być rozwiązaniem. Takie dzielenie mogłoby usunąć prawidłowy pierwiastek.

Wzory Cardano – kiedy i jak ich użyć?

Wzory Cardano stosuje się wtedy, gdy równania nie można łatwo rozłożyć na czynniki, a potrzebne są jawne wzory na pierwiastki. Metoda polega na usunięciu składnika \(x^2\), czyli sprowadzeniu równania do postaci kanonicznej:

\[
y^3+py+q=0
\]

Dla równania:

\[
ax^3+bx^2+cx+d=0
\]

najpierw dzielimy przez \(a\), a następnie wykonujemy podstawienie:

\[
x=y-\frac{b}{3a}
\]

Współczynniki postaci kanonicznej wynoszą:

\[
p=\frac{3ac-b^2}{3a^2}
\]

\[
q=\frac{2b^3-9abc+27a^2d}{27a^3}
\]

Dla równania \(y^3+py+q=0\) obliczamy wyróżnik:

\[
\Delta=\left(\frac q2\right)^2+\left(\frac p3\right)^3
\]

Gdy \(\Delta\geq 0\), jeden z pierwiastków postaci kanonicznej można zapisać jako:

\[
y=\sqrt[3]{-\frac q2+\sqrt{\Delta}}+
\sqrt[3]{-\frac q2-\sqrt{\Delta}}
\]

Następnie wracamy do pierwotnej niewiadomej:

\[
x=y-\frac{b}{3a}
\]

Algorytm wygląda więc następująco:

1. Podziel równanie przez współczynnik przy \(x^3\).
2. Wykonaj podstawienie \(x=y-\frac{b}{3a}\) i wyznacz \(p\) oraz \(q\).
3. Oblicz wyróżnik \(\Delta=\left(\frac q2\right)^2+\left(\frac p3\right)^3\).
4. Zastosuj odpowiedni wzór Cardano i przelicz \(y\) na \(x\).

W przypadku \(\Deltacasus irreducibilis. Równanie ma wtedy trzy rzeczywiste pierwiastki, lecz bezpośrednie użycie wzoru Cardano prowadzi po drodze do liczb zespolonych. Można zastosować rachunek zespolony albo postać trygonometryczną, ale na poziomie szkolnym zwykle szybciej jest znaleźć jeden pierwiastek metodą prób i użyć twierdzenia Bézouta.

Na co uważać przy rozwiązywaniu?

Najczęstszy błąd polega na przejściu do wzorów Cardano bez wcześniejszego sprawdzenia prostych rozkładów. Wspólny czynnik, grupowanie albo jeden łatwy pierwiastek całkowity często skracają rachunki z kilku stron do kilku wierszy.

Trzeba też rozróżniać liczbę rozwiązań rzeczywistych od liczby wszystkich rozwiązań. Równanie sześcienne o rzeczywistych współczynnikach zawsze ma co najmniej jeden pierwiastek rzeczywisty, ale pozostałe dwa mogą być zespolone.

Przy obliczeniach przybliżonych zachowaj ostrożność. Wartości bardzo bliskie zeru mogą zostać błędnie uznane za równe zeru, a kalkulator lub program może zwrócić niewłaściwą gałąź pierwiastka sześciennego dla liczby ujemnej. Po otrzymaniu wyniku podstaw go z powrotem do równania.

Od czego zacząć?

Najpierw uporządkuj równanie i sprawdź wspólny czynnik, grupowanie, wzory skróconego mnożenia oraz możliwe pierwiastki całkowite. Jeśli znajdziesz jeden pierwiastek, podziel wielomian przez odpowiedni dwumian i rozwiąż powstałe równanie kwadratowe. Wzory Cardano zostaw jako metodę ogólną na przypadki, w których prosty rozkład rzeczywiście nie działa.