Rachunek różniczkowy – najważniejsze wzory i zastosowania
Rachunek różniczkowy pozwala wyznaczać tempo zmian funkcji. Pochodna w punkcie jest granicą ilorazu różnicowego i oznacza współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu funkcji.
Czym jest pochodna funkcji?
Dla funkcji \(f\) pochodną w punkcie \(x_0\) definiuje się wzorem:
\[f'(x_0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\]
Wyrażenie \(\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\) nazywa się ilorazem różnicowym. Pochodna istnieje w punkcie, jeśli powyższa granica jest skończona. Geometrycznie określa nachylenie stycznej do wykresu funkcji w punkcie \(x_0\).
Wzory pochodnych funkcji elementarnych
Poniższa tabela obejmuje podstawowe funkcje używane w rachunku różniczkowym:
| Funkcja \(f(x)\) | Pochodna \(f'(x)\) |
|---|---|
| \(c\), gdzie \(c\) jest stałą | \(0\) |
| \(x\) | \(1\) |
| \(x^n\) | \(n x^{n-1}\) |
| \(\frac{1}{x}=x^{-1}\) | \(-\frac{1}{x^2}\) |
| \(\sqrt{x}=x^{1/2}\) | \(\frac{1}{2\sqrt{x}}\) |
| \(e^x\) | \(e^x\) |
| \(a^x\) | \(a^x\ln a\) |
| \(\ln x\) | \(\frac{1}{x}\) |
| \(\sin x\) | \(\cos x\) |
| \(\cos x\) | \(-\sin x\) |
| \(\operatorname{tg}x\) | \(\frac{1}{\cos^2 x}\) |
| \(\operatorname{ctg}x\) | \(-\frac{1}{\sin^2 x}\) |
Reguły różniczkowania
Jeżeli funkcje \(f\) i \(g\) są różniczkowalne, ich pochodne oblicza się według następujących reguł:
| Operacja | Wzór |
|---|---|
| Suma | \((f+g)’=f’+g’\) |
| Różnica | \((f-g)’=f’-g’\) |
| Iloczyn | \((fg)’=f’g+fg’\) |
| Iloraz | \(\left(\frac{f}{g}\right)’=\frac{f’g-fg’}{g^2}\), \(g\ne 0\) |
| Funkcja złożona | \((f(g(x)))’=f'(g(x))\cdot g'(x)\) |
Ostatni wzór to reguła łańcuchowa. Stosuje się ją wtedy, gdy jedna funkcja występuje wewnątrz drugiej, na przykład w wyrażeniu \(\sin(x^2)\).
Jak pochodna określa monotoniczność?
Na przedziale, na którym funkcja jest różniczkowalna, znak jej pochodnej wskazuje kierunek zmian funkcji:
- \(f'(x)>0\) – funkcja rośnie.
- \(f'(x)
- \(f'(x)=0\) – funkcja może być stała na przedziale, a w pojedynczym punkcie oznacza punkt stacjonarny.
Oznaczenia pochodnej mogą mieć postać \(f'(x)\), \(Df(x)\) albo \(\frac{df}{dx}\).
