Równania różniczkowe – najważniejsze wzory i zastosowania

Równania różniczkowe wiążą funkcję niewiadomą z jej pochodnymi. Najważniejszy podział obejmuje równania zwyczajne (ODE), zależne od jednej zmiennej niezależnej, oraz równania cząstkowe (PDE), w których występują pochodne cząstkowe funkcji wielu zmiennych. Dobór wzoru i metody zależy od rzędu, liniowości oraz postaci równania.

Podstawowe pojęcia

Rząd równania wyznacza najwyższa pochodna występująca w równaniu. Przykład \(y”+3y’-2y=0\) jest równaniem drugiego rzędu. Stopień określa najwyższą potęgę najwyższej pochodnej, o ile równanie jest wielomianem względem pochodnych.

W równaniu zwyczajnym, czyli ODE, funkcja zależy od jednej zmiennej, na przykład \(y=y(x)\). W równaniu cząstkowym, czyli PDE, funkcja może zależeć od kilku zmiennych, a zapis obejmuje pochodne cząstkowe, takie jak \(\frac{\partial u}{\partial x}\).

Rozwiązanie ogólne zawiera stałe całkowania, na przykład \(C_1\) i \(C_2\). Po uwzględnieniu warunków początkowych lub brzegowych otrzymuje się rozwiązanie szczególne.

Równania pierwszego rzędu – wzory i metody

Najczęściej spotykane równania pierwszego rzędu można rozpoznać po ich standardowej postaci:

Dla równania liniowego po pomnożeniu przez czynnik całkujący otrzymuje się pochodną iloczynu:

\[
(\mu y)’=\mu q.
\]

Stąd rozwiązanie ma postać:

\[
y(x)=\frac{\int \mu(x)q(x)\,dx+C}{\mu(x)}.
\]

W równaniu Bernoulliego podstawienie \(z=y^{1-n}\) prowadzi do równania liniowego względem \(z\). Trzeba osobno sprawdzić rozwiązanie \(y=0\), jeśli występuje ono w przekształcanej postaci.

Równania liniowe drugiego rzędu

Jednorodne równanie liniowe o stałych współczynnikach zapisuje się jako:

\[
ay”+by’+cy=0,\qquad a\neq 0.
\]

Odpowiada mu równanie charakterystyczne:

\[
ar^2+br+c=0.
\]

Postać rozwiązania zależy od rodzaju jego pierwiastków:

• Dwa różne pierwiastki rzeczywiste \(r_1\) i \(r_2\) dają \(y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}\).
• Pierwiastek podwójny \(r\) daje \(y=(C_1+C_2x)e^{rx}\).
• Para zespolona \(r=\alpha\pm i\beta\) daje \(y=e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x)\).
• Rozwiązanie ogólne jest kombinacją liniową niezależnych rozwiązań bazowych.

Operator różniczkowy \(L\) jest liniowy, gdy spełnia:

• \(L(u+v)=L(u)+L(v)\).
• \(L(Cu)=CL(u)\) dla stałej \(C\).
• Jeżeli \(u\) i \(v\) są rozwiązaniami równania jednorodnego, to \(C_1u+C_2v\) także jest jego rozwiązaniem.
• Zasada superpozycji pozwala budować rozwiązania z rozwiązań bazowych.

Dla równania niejednorodnego \(ay”+by’+cy=f(x)\) rozwiązanie zapisuje się jako \(y=y_h+y_p\), gdzie \(y_h\) rozwiązuje równanie jednorodne, a \(y_p\) jest jednym rozwiązaniem szczególnym. Przy prostych funkcjach \(f(x)\) można zastosować metodę przewidywań, natomiast bardziej ogólną metodą jest uzmiennianie stałych.

Wrońskian dwóch funkcji \(y_1\) i \(y_2\) ma postać:

\[
W(y_1,y_2)(x)=
\begin{vmatrix}
y_1(x)&y_2(x)\\
y_1′(x)&y_2′(x)
\end{vmatrix}
=y_1y_2′-y_1’y_2.
\]

Niezerowy Wrońskian na rozważanym przedziale wskazuje na liniową niezależność rozwiązań.

Przykład rozwiązania równania drugiego rzędu

Rozważmy równanie:

\[
y”-3y’+2y=0.
\]

Procedura rozwiązania obejmuje następujące kroki:

1. Identyfikacja typu – jest to jednorodne równanie liniowe drugiego rzędu o stałych współczynnikach.
2. Równanie charakterystyczne – po zastąpieniu \(y\) przez \(e^{rx}\) otrzymujemy \(r^2-3r+2=0\).
3. Wyznaczenie pierwiastków – równanie rozkłada się na \((r-1)(r-2)=0\), więc \(r_1=1\) i \(r_2=2\).
4. Stałe całkowania – ponieważ pierwiastki są różne i rzeczywiste, rozwiązanie ogólne ma postać \(y=C_1e^x+C_2e^{2x}\).

Zastosowania równań różniczkowych

Równania różniczkowe opisują zmianę wielkości w czasie lub względem położenia. Typowe zastosowania obejmują:

• W fizyce opisują oscylator harmoniczny, ruch drgający i prawo stygnięcia Newtona.
• W biologii służą do modelowania wzrostu populacji, w tym modelu Malthusa i modelu logistycznego.
• W inżynierii opisują dynamikę układów mechanicznych, elektrycznych i sterowania.
• W ekonomii pozwalają analizować modele dynamiki rynku, zmian kapitału i wzrostu gospodarczego.