Jak obliczyć kombinację? Poradnik krok po kroku
Kombinacja to wybór r elementów spośród n różnych elementów, gdy kolejność wyboru nie ma znaczenia. Liczbę takich wyborów oblicza się ze wzoru: C(n, r) = n! / (r! · (n − r)!). Najważniejsze jest więc rozstrzygnięcie, czy zamiana kolejności wybranych elementów tworzy nowy wynik.
Czym jest kombinacja?
Kombinacja bez powtórzeń oznacza wybór określonej liczby elementów z większego zbioru, przy czym każdy element można wybrać najwyżej raz. Jeśli wybierasz 3 osoby z grupy 5 osób do zespołu, skład zespołu pozostaje taki sam niezależnie od kolejności wskazania tych osób.
W zapisie matematycznym n oznacza liczbę wszystkich dostępnych elementów, a r – liczbę elementów wybieranych. Kombinację zapisuje się między innymi jako C(n, r), nCr albo symbol Newtona ⁿCᵣ.
Wzór na kombinację i różnica między permutacją
Wzór na liczbę kombinacji bez powtórzeń wygląda następująco:
C(n, r) = n! / (r! · (n − r)!)
Wykrzyknik oznacza silnię. Dla liczby naturalnej n silnia jest iloczynem wszystkich liczb od 1 do n, czyli n! = 1 · 2 · 3 · … · n. Przykładowo 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120. Przyjmuje się też, że 0! = 1.
Symbol Newtona oblicza liczbę podzbiorów o ustalonej liczbie elementów. Nie uwzględnia kolejności, dlatego zestaw {A, B, C} jest tym samym wyborem co {C, A, B}. Dla porównania permutacja opisuje uporządkowanie elementów. Te pojęcia można rozróżnić tak:
| Cecha | Kombinacja | Permutacja |
|---|---|---|
| Kolejność | Nie ma znaczenia | Ma znaczenie |
| Wzór dla wyboru r z n | n! / (r! · (n − r)!) | n! / (n − r)! |
| Przykład | Wybór osób do drużyny | Ustawienie osób w kolejce |
Najczęstszy błąd polega na użyciu permutacji w sytuacji, w której liczy się tylko skład grupy. Jeżeli jednak wybrane elementy zajmują różne miejsca, tworzą kod albo określają kolejność na podium, wtedy sama kombinacja nie wystarczy.
Jak obliczyć kombinację krok po kroku?
Rozważmy przykład: z 5 różnych owoców chcesz wybrać 3. Kolejność wyboru nie ma znaczenia, ponieważ zestaw jabłko, gruszka i banan jest taki sam niezależnie od kolejności wskazania owoców.
Obliczenie przebiega w kilku etapach:
- Określ wartości n i r – tutaj n = 5, ponieważ dostępnych jest 5 owoców, oraz r = 3, ponieważ wybierasz 3.
- Zapisz wzór – C(5, 3) = 5! / (3! · (5 − 3)!).
- Rozpisz silnie – C(5, 3) = 5! / (3! · 2!) = (5 · 4 · 3 · 2 · 1) / ((3 · 2 · 1) · (2 · 1)).
- Skróć ułamek – C(5, 3) = 120 / (6 · 2) = 120 / 12 = 10.
Można więc utworzyć 10 różnych zestawów trzech owoców. Zestawów tych nie mnożymy przez liczbę możliwych kolejności, bo w kombinacji kolejność nie zmienia wyniku.
W podobny sposób można rozwiązać zadanie z pięciocyfrowymi kodami, których cyfry rosną od lewej do prawej. Najpierw wybiera się 5 różnych cyfr spośród 10 cyfr, czyli oblicza C(10, 5). Każdy wybrany zestaw można ustawić rosnąco tylko na jeden sposób, więc liczba kodów wynosi C(10, 5) = 252. Cyfra 0 może wystąpić na początku, ponieważ w ciągu rosnącym jest najmniejsza.
Kiedy stosować kombinację?
Kombinację wybierasz wtedy, gdy elementy tworzą grupę, a ich kolejność nie zmienia rezultatu. Typowe sytuacje to:
- Losowanie kilku kart z talii, gdy liczy się tylko ich zestaw.
- Wybór składu drużyny lub komisji.
- Dobór kilku produktów do wspólnego zestawu.
- Wybór liczb w losowaniu, gdy kolejność wylosowania nie ma znaczenia.
Wzór przedstawiony wyżej dotyczy kombinacji bez powtórzeń. Jeżeli ten sam element może zostać wybrany wiele razy, na przykład przy tworzeniu zestawu kul z odkładaniem, stosuje się kombinację z powtórzeniami. Gdy kolejność znaków w kodzie ma znaczenie, problem dotyczy permutacji lub wariacji, a nie zwykłej kombinacji.
Najprostsze pytanie kontrolne brzmi: czy zamiana miejscami wybranych elementów tworzy nowy wynik? Jeśli nie, użyj kombinacji. Jeśli tak, potrzebujesz wzoru uwzględniającego kolejność.
W artykule zastosowano standardowe oznaczenia kombinatoryczne. W zależności od podręcznika symbol Newtona może być zapisywany jako C(n, r), nCr albo ⁿCᵣ, ale znaczenie wzoru pozostaje takie samo.
