Jak obliczyć wariację? Poradnik krok po kroku
„Wariacja” i „wariancja” to dwa różne pojęcia. Wariacja w kombinatoryce służy do liczenia możliwych uporządkowanych wyborów, a wariancja w statystyce opisuje rozproszenie danych wokół średniej. Najpierw ustal więc, czy rozwiązujesz zadanie z liczenia wyników losowania, czy analizujesz konkretny zbiór liczb.
Wariacja a wariancja – skąd bierze się pomyłka?
Podobieństwo nazw łatwo prowadzi do błędu. Wariacja należy do kombinatoryki i odpowiada na pytanie, ile różnych układów można utworzyć z dostępnych elementów. Wariancja jest pojęciem statystycznym. Pokazuje, jak mocno wartości w zbiorze różnią się od średniej arytmetycznej.
W zadaniach probabilistycznych symbol Ω oznacza przestrzeń wszystkich wyników elementarnych. Jej liczebność zależy od tego, co uznajesz za pojedynczy wynik. Gdy losujesz jedną kulę z 22 kul, masz 22 możliwe wyniki. Gdy wybierasz trzy osoby do delegacji, pojedynczym wynikiem jest cała trzyosobowa delegacja, a nie jedna osoba.
| Cecha | Wariacja (kombinatoryka) | Wariancja (statystyka) |
|---|---|---|
| Cel | Liczenie możliwych układów lub wyborów | Pomiar rozproszenia danych |
| Główne pytanie | Ile wyników można utworzyć? | Jak daleko wartości leżą od średniej? |
| Przykład | Utworzenie kodu lub ustalenie kolejności osób | Analiza wyników testu lub pomiarów |
| Wynik obliczenia | Liczba możliwości | Liczba opisująca zmienność zbioru |
Jak obliczyć wariację w kombinatoryce?
Wariację stosujesz wtedy, gdy wybierasz kilka elementów i kolejność ma znaczenie. Wariacja bez powtórzeń złożona z k elementów wybranych ze zbioru n-elementowego ma wzór:
Vnk = n! / (n − k)!
Symbol „!” oznacza silnię. Na przykład wariacja trzech elementów z pięciu wynosi:
V53 = 5! / 2! = 5 × 4 × 3 = 60.
Otrzymujesz 60 uporządkowanych ciągów. Ciąg ABC jest w tym przypadku innym wynikiem niż BAC. Jeżeli kolejność nie ma znaczenia, nie używasz wariacji, lecz kombinacji:
Cnk = n! / (k!(n − k)!)
W zadaniu o delegacji wybierasz trzy osoby z 27, ale nie ustalasz ich kolejności. Delegacja złożona z Ani, Bartka i Celiny jest tym samym wynikiem co delegacja z Celiny, Ani i Bartka. Dlatego:
Ω = C273 = 2925.
Przy wyborze jednej osoby kombinacja daje po prostu liczbę elementów, ponieważ:
Cn1 = n.
Tak działa pierwsze zadanie. W urnie znajduje się 5 + 3 + 6 + 8 = 22 kule i losujesz jedną z nich, więc liczba wszystkich wyników wynosi Ω = 22. Gdybyś losował kilka kul, musiałbyś określić, czy kolejność losowania ma znaczenie.
Przy wyborze między kombinacją a wariacją pomocne są te pytania:
- Czy kolejność ma znaczenie? Jeśli tak, rozważ wariację. Jeśli nie, użyj kombinacji.
- Ile elementów wybierasz? Przy jednym wyborze liczba możliwości zwykle równa się liczbie dostępnych elementów.
- Czy elementy mogą się powtarzać? Powtórzenia zmieniają wzór i trzeba uwzględnić je w modelu zadania.
- Czy wynik jest zbiorem, czy uporządkowanym ciągiem? Zbiór wskazuje na kombinację, a ciąg na wariację.
W zadaniu o prawdopodobieństwie najpierw opisz słownie jeden wynik elementarny, a dopiero potem licz wszystkie takie wyniki. To chroni przed mechanicznym użyciem niewłaściwego wzoru.
Jak obliczyć wariancję w statystyce?
Wariancja jest średnią arytmetyczną kwadratów odchyleń poszczególnych wartości od średniej. Najpierw trzeba rozstrzygnąć, czy analizujesz całą populację, czy tylko próbę z większej populacji.
- Wariancja populacji – dzielisz sumę kwadratów odchyleń przez n, czyli liczbę wszystkich obserwacji.
- Wariancja próbki – dzielisz tę sumę przez n − 1, ponieważ dane są tylko częścią większej populacji.
- Średnia arytmetyczna – suma wszystkich wartości podzielona przez ich liczbę.
- Odchylenie standardowe – pierwiastek z wariancji, wyrażony w tej samej jednostce co analizowane dane.
Dla populacji wzór ma postać:
σ² = Σ(xᵢ − x̄)² / n
Dla próbki stosuje się:
s² = Σ(xᵢ − x̄)² / (n − 1)
Przykład dla danych 2, 4, 6 pokazuje pełną procedurę:
| Wartość x | x − średnia | (x − średnia)² |
|---|---|---|
| 2 | −2 | 4 |
| 4 | 0 | 0 |
| 6 | 2 | 4 |
| Razem | 0 | 8 |
Średnia wynosi 4. Suma kwadratów odchyleń wynosi 8. Obliczenie wariancji wygląda więc następująco:
- Oblicz średnią arytmetyczną danych.
- Od każdej wartości odejmij średnią.
- Podnieś każde odchylenie do kwadratu.
- Dodaj wszystkie otrzymane kwadraty.
- Podziel sumę przez n dla populacji albo przez n − 1 dla próbki.
Dla całej populacji wariancja wynosi 8 / 3, czyli około 2,67. Jeśli trzy liczby traktujesz jako próbkę, wariancja wynosi 8 / 2 = 4. Różnica nie wynika z innego sposobu liczenia odchyleń, lecz z zastosowania innego mianownika.
Jak obliczyć wariancję w Excelu lub Arkuszach Google?
Jeżeli dane są próbką, użyj funkcji WARIANCJA.PRÓBKI. W starszych wersjach Excela spotkasz także funkcję WARIANCJA, która służy do tego samego rodzaju obliczenia.
Dla całej populacji wybierz funkcję WARIANCJA.POPUL. Przykładowo, dla danych z zakresu A2:A10 możesz użyć formuły =WARIANCJA.PRÓBKI(A2:A10) albo =WARIANCJA.POPUL(A2:A10), zależnie od tego, jak interpretujesz zbiór.
Najkrótsza reguła brzmi: w zadaniach o losowaniu liczysz elementy przestrzeni Ω, korzystając z liczby elementów, kombinacji albo wariacji zależnie od sposobu wyboru. W analizie danych nie liczysz układów, tylko obliczasz wariancję na podstawie odchyleń od średniej.
