Jak obliczyć wektor? Podstawowe wzory i przykłady
Wektor oblicza się na podstawie jego współrzędnych. W 2D zapisuje się go jako v = [x, y], a w 3D jako v = [x, y, z]. Poszczególne operacje wykonuje się po współrzędnych, natomiast długość i kierunek wyznacza się za pomocą wzorów geometrycznych.
Wektor w zapisie analitycznym
Wektor na płaszczyźnie jest uporządkowaną parą liczb, na przykład v = [3, 4]. Pierwsza liczba określa składową wzdłuż osi x, a druga składową wzdłuż osi y.
W przestrzeni trójwymiarowej potrzebna jest jeszcze składowa wzdłuż osi z, dlatego zapis ma postać v = [x, y, z]. Współrzędne zachowują także informację o zwrocie, ponieważ mogą być dodatnie lub ujemne.
Jak obliczyć moduł i wektor jednostkowy?
Moduł wektora oznacza jego długość. Wynika ze zsumowania kwadratów współrzędnych i wyciągnięcia pierwiastka. Wektor jednostkowy, nazywany także wersorem, ma moduł równy 1 i zachowuje kierunek danego wektora.
| Operacja | Wzór 2D | Wzór 3D |
|---|---|---|
| Moduł wektora | |v| = √(x² + y²) | |v| = √(x² + y² + z²) |
| Wektor jednostkowy | u = v / |v| | u = v / |v| |
| Współrzędne wersora | u = [x/|v|, y/|v|] | u = [x/|v|, y/|v|, z/|v|] |
Przykład dla wektora v = [3, 4]:
|v| = √(3² + 4²) = √25 = 5
Wektor jednostkowy w jego kierunku wynosi:
u = v / |v| = [3/5, 4/5]
Wektor zerowy nie ma wersora, ponieważ nie można dzielić przez jego moduł równy 0.
Jak wyznaczyć kąt kierunkowy wektora?
Kąt kierunkowy to kąt mierzony od dodatniej części osi x przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Dla wektora 2D v = [x, y] podstawowy wzór ma postać:
θ = arctan(y/x)
Samo obliczenie arctangensu nie zawsze daje jednak kąt kierunkowy. Trzeba uwzględnić znaki obu współrzędnych i położenie wektora w układzie współrzędnych:
- Oblicz wartość pomocniczą α = arctan(y/x). Upewnij się, że kalkulator działa w stopniach albo w radianach zgodnie z jednostką, której potrzebujesz.
- Sprawdź znaki x i y, aby określić ćwiartkę, w której leży wektor.
- W pierwszej ćwiartce, gdy x > 0 i y > 0, przyjmij θ = α. W drugiej ćwiartce, gdy x < 0 i y > 0, oblicz θ = α + 180°.
- W trzeciej ćwiartce, gdy x < 0 i y < 0, również dodaj 180°, czyli θ = α + 180°. W czwartej ćwiartce, gdy x > 0 i y < 0, ujemny wynik można zapisać jako θ = α + 360°, aby otrzymać kąt z przedziału od 0° do 360°.
Przykład: dla v = [-1, 1] wektor leży w drugiej ćwiartce. Ponieważ arctan(1/−1) = −45° w podstawowym obliczeniu, właściwy kąt kierunkowy wynosi:
θ = −45° + 180° = 135°
Gdy x = 0, wzoru arctan(y/x) nie stosuje się. Dla y > 0 kąt wynosi 90°, a dla y < 0 – 270°. Wektor zerowy nie ma określonego kierunku.
Jak dodawać, odejmować i mnożyć wektory?
Jeżeli dwa wektory mają ten sam wymiar, działania wykonuje się po odpowiadających sobie współrzędnych. Dla a = [a₁, a₂] i b = [b₁, b₂] otrzymujemy:
- Suma – a + b = [a₁ + b₁, a₂ + b₂]
- Różnica – a − b = [a₁ − b₁, a₂ − b₂]
- Mnożenie przez skalar – k·a = [k·a₁, k·a₂]
- Iloczyn skalarny – a·b = a₁b₁ + a₂b₂
W przestrzeni 3D dodaje się także trzecią współrzędną. Najważniejsze własności tych działań można zapisać następująco:
- Suma wektorów ma taki sam wymiar jak oba składniki.
- W odejmowaniu kolejność ma znaczenie, ponieważ na ogół a − b różni się od b − a.
- Mnożenie przez dodatni skalar zachowuje zwrot, a przez ujemny skalar zmienia zwrot.
- Iloczyn skalarny daje liczbę, a jego wartość wynosi 0 dla wektorów prostopadłych.
Przykłady dla wektorów a = [2, 3] i b = [4, −1]:
Suma: a + b = [2 + 4, 3 + (−1)] = [6, 2]
Różnica: a − b = [2 − 4, 3 − (−1)] = [−2, 4]
Iloczyn skalarny: a·b = 2·4 + 3·(−1) = 8 − 3 = 5
