Jak obliczyć ekstrema funkcji?

Ekstrema lokalne funkcji jednej zmiennej wyznacza się przez analizę pochodnej. Najpierw ustal dziedzinę, potem oblicz f'(x), znajdź punkty krytyczne i sprawdź, czy pochodna zmienia w nich znak. Zmiana z „+” na „−” oznacza maksimum lokalne, a z „−” na „+” – minimum lokalne.

Czym jest ekstremum funkcji?

Ekstremum lokalne to punkt, w którym funkcja osiąga największą albo najmniejszą wartość w swoim bliskim otoczeniu. Na wykresie maksimum przypomina „górkę”, a minimum – „dołek”. Nie należy mylić ekstremum lokalnego z największą lub najmniejszą wartością funkcji w całej dziedzinie, czyli ekstremum globalnym.

W przypadku funkcji różniczkowalnej warunkiem koniecznym istnienia ekstremum w punkcie x₀ jest równość f'(x₀) = 0. Jest to jednak tylko warunek konieczny. Samo wyzerowanie pochodnej nie wystarcza, aby stwierdzić, że funkcja ma tam maksimum lub minimum.

Jak obliczyć ekstrema funkcji krok po kroku?

Uniwersalny algorytm dla funkcji jednej zmiennej wygląda następująco:

1. Wyznacz dziedzinę funkcji. Sprawdź, dla jakich wartości x wzór funkcji ma sens.
2. Oblicz pochodną f'(x). Skorzystaj z reguł różniczkowania.
3. Znajdź punkty krytyczne. Rozwiąż równanie f'(x) = 0 i sprawdź także punkty dziedziny, w których pochodna nie istnieje.
4. Zbadaj znak pochodnej. Podziel dziedzinę punktami krytycznymi i ustal, czy f'(x) jest dodatnia, czy ujemna na każdym z powstałych przedziałów.
5. Określ rodzaj ekstremum. Zmiana znaku z plusa na minus oznacza maksimum lokalne, a zmiana z minusa na plus – minimum lokalne.

Dziedzina jest punktem startowym, ponieważ punkty spoza niej nie mogą być argumentami funkcji. Trzeba też uwzględnić punkty, w których pochodna nie istnieje, na przykład wierzchołek wykresu funkcji f(x) = |x|. Funkcja ma tam minimum, mimo że nie można obliczyć zwykłej pochodnej w x = 0.

Przykład obliczenia ekstremów

Wyznaczmy ekstrema funkcji:

f(x) = x³ + 6x² − 7

1. Dziedzina funkcji wynosi D_f = ℝ, ponieważ jest to wielomian.
2. Obliczamy pochodną:
   f'(x) = 3x² + 12x = 3x(x + 4).
3. Wyznaczamy punkty krytyczne:
   3x(x + 4) = 0
   x = 0 lub x = −4.
4. Dzielimy dziedzinę punktami −4 i 0 na przedziały: (−∞, −4), (−4, 0) oraz (0, +∞).
5. Badamy znak pochodnej. Możemy wybrać po jednym argumencie z każdego przedziału:

W pobliżu x = −4 funkcja najpierw rośnie, a następnie maleje. W punkcie tym występuje więc maksimum lokalne. W pobliżu x = 0 funkcja najpierw maleje, a później rośnie, dlatego w x = 0 znajduje się minimum lokalne.

Jeśli trzeba podać także wartości ekstremów, podstawiamy odpowiednie argumenty do wzoru funkcji:

f(−4) = (−4)³ + 6(−4)² − 7 = −64 + 96 − 7 = 25

f(0) = 0³ + 6 · 0² − 7 = −7

Zatem funkcja ma maksimum lokalne w punkcie (−4, 25) oraz minimum lokalne w punkcie (0, −7).

Na co uważać podczas obliczeń?

Samo równanie f'(x) = 0 nie dowodzi istnienia ekstremum. Przykładem jest funkcja f(x) = x³. Jej pochodna f'(x) = 3x² zeruje się dla x = 0, ale pochodna jest dodatnia zarówno po lewej, jak i po prawej stronie tego punktu. Funkcja cały czas rośnie, więc w x = 0 nie ma maksimum ani minimum lokalnego.

W takim przypadku punkt, w którym pochodna się zeruje, może być punktem przegięcia, a nie ekstremum. O rodzaju punktu decyduje dopiero zmiana znaku pochodnej.

Punkty krytyczne obejmują także argumenty, dla których pochodna nie istnieje, ale sama funkcja jest określona. Po sprawdzeniu ciągłości i zachowania funkcji z lewej oraz prawej strony można stwierdzić, czy występuje tam ekstremum. Nie trzeba natomiast analizować punktów spoza dziedziny.

Najważniejsza reguła jest prosta: „+” na „−” daje maksimum, a „−” na „+” daje minimum. Zawsze należy jednak najpierw wyznaczyć dziedzinę i rozpatrzyć wszystkie punkty krytyczne.