Współczynnik wielomianu – co to jest i jak go wyznaczyć?
Współczynnik wielomianu to liczba stojąca przy określonej potędze zmiennej. W wyrażeniu 5x2 współczynnikiem jest 5, a liczba 2 jest wykładnikiem potęgi, nie współczynnikiem.
Czym jest współczynnik wielomianu?
Wielomian jest sumą jednomianów, czyli wyrażeń takich jak 5x2, −3x albo 7. Liczba, która mnoży zmienną lub jej potęgę, nazywa się współczynnikiem danego składnika.
W jednomianie 5x2 liczba 5 jest współczynnikiem, x jest zmienną, a 2 to wykładnik potęgi. W zapisie −3x współczynnikiem jest −3. Znak minus należy do współczynnika, dlatego nie można odczytać go jako samej liczby 3.
Stała również ma współczynnik. W wyrazie 7 można zapisać 7x0, ponieważ x0 = 1. Współczynniki wielomianu oznacza się często symbolami a0, a1, a2 i tak dalej. Indeks wskazuje, przy której potędze zmiennej stoi dana liczba.
Jak wyznaczyć współczynniki wielomianu?
Aby poprawnie odczytać współczynniki, najpierw trzeba zapisać wielomian w postaci uporządkowanej, zwykle od najwyższej potęgi zmiennej do najniższej. Przed odczytaniem liczb należy też zredukować wyrazy podobne.
Postępuj według następujących kroków:
- Uporządkuj wielomian – zapisz składniki od najwyższej potęgi zmiennej do wyrazu stałego.
- Zredukuj wyrazy podobne – połącz składniki zawierające tę samą potęgę zmiennej.
- Odczytaj współczynniki – przypisz każdej potędze liczbę stojącą przy niej, razem z jej znakiem.
- Uzupełnij brakujące potęgi – jeśli pewna potęga nie występuje, jej współczynnik wynosi 0.
Rozważmy wielomian:
W(x) = 3x3 − 2x + 5
Nie ma w nim składnika z x2, dlatego przy tej potędze wpisujemy współczynnik 0:
| Składnik i potęga | Współczynnik | Oznaczenie |
|---|---|---|
| 3x3 | 3 | a3 = 3 |
| 0x2 | 0 | a2 = 0 |
| −2x | −2 | a1 = −2 |
| 5 | 5 | a0 = 5 |
Współczynniki tego wielomianu to więc: 3, 0, −2 i 5. Najwyższa potęga wynosi 3, dlatego wielomian ma stopień trzeci.
Przykładowo, dla wyrażenia 2x2 + 4x − x2 najpierw redukujemy wyrazy podobne:
2x2 + 4x − x2 = x2 + 4x
Dopiero teraz można odczytać współczynniki. Wynoszą one 1 przy x2, 4 przy x oraz 0 przy wyrazie stałym.
Na co uważać przy odczytywaniu współczynników?
Najczęstsze pomyłki wynikają z pominięcia znaku, pomieszania współczynnika z wykładnikiem albo nieuwzględnienia brakujących potęg. Zapamiętaj następujące zasady:
- W wyrażeniu −3x2 współczynnikiem jest −3, a nie 3.
- W wyrażeniu 5x4 współczynnik to 5, natomiast 4 jest wykładnikiem.
- Brak składnika x2 oznacza współczynnik 0 przy tej potędze.
- Przed odczytaniem współczynników trzeba połączyć wyrazy podobne.
- Przy zmiennej bez zapisanej liczby współczynnik wynosi 1, a przy −x wynosi −1.
W szczególnym przypadku wielomianu zerowego wszystkie współczynniki są równe 0. Taki wielomian nie ma określonego stopnia, ponieważ nie występuje w nim żadna najwyższa potęga zmiennej.
Znajomość współczynników jest potrzebna przy dodawaniu i mnożeniu wielomianów, wyznaczaniu ich stopnia oraz szukaniu pierwiastków. Najważniejsza zasada brzmi: najpierw uporządkuj i zredukuj wielomian, a potem odczytaj liczby przy kolejnych potęgach, zachowując ich znaki.
