Jak obliczyć decyl? Poradnik krok po kroku
Decyl to wartość, która dzieli uporządkowany zbiór danych na dziesięć części. Aby go obliczyć, najpierw uporządkuj obserwacje rosnąco, a następnie zastosuj metodę pozycyjną albo interpolację dla szeregu przedziałowego. Decyl 4. wskazuje wartość, poniżej której znajduje się około 40% obserwacji, natomiast decyl 5. jest równy medianie.
Czym są decyle?
Decyle są szczególnymi kwantylami. Wyróżnia się dziewięć wartości oznaczanych jako D1, D2, …, D9. Dzielą uporządkowaną zbiorowość na dziesięć części, przy czym każdy kolejny decyl odpowiada następnemu poziomowi procentowemu.
| Decyl | Percentyl | Interpretacja |
|---|---|---|
| D1 | P10 | Około 10% obserwacji ma wartość nie większą niż D1. |
| D2 | P20 | Około 20% obserwacji ma wartość nie większą niż D2. |
| D3 | P30 | Około 30% obserwacji ma wartość nie większą niż D3. |
| D4 | P40 | Około 40% obserwacji ma wartość nie większą niż D4. |
| D5 | P50 | Mediana, czyli wartość dzieląca zbiór na dwie połowy. |
| D6 | P60 | Około 60% obserwacji ma wartość nie większą niż D6. |
| D7 | P70 | Około 70% obserwacji ma wartość nie większą niż D7. |
| D8 | P80 | Około 80% obserwacji ma wartość nie większą niż D8. |
| D9 | P90 | Około 90% obserwacji ma wartość nie większą niż D9. |
Jak obliczyć decyl w szeregu szczegółowym?
Szereg szczegółowy zawiera pojedyncze obserwacje, a nie przedziały klasowe. Przed rozpoczęciem obliczeń trzeba ułożyć dane rosnąco. Następnie można wyznaczyć pozycję decyla za pomocą wzoru:
pozycja Dk = k(n + 1) / 10
Symbol k oznacza numer decyla, a n – liczbę obserwacji. Dla czwartego decyla obliczasz więc pozycję jako 4(n + 1) / 10. Jeżeli wynik jest liczbą całkowitą, odczytujesz wartość znajdującą się na tej pozycji. Gdy pozycja wypada pomiędzy dwiema obserwacjami, stosuje się interpolację liniową. Podręczniki i programy mogą przyjmować nieco inne konwencje wyznaczania pozycji, dlatego przy porównywaniu wyników trzeba sprawdzić używaną metodę.
Algorytm dla szeregu szczegółowego wygląda następująco:
- Uporządkuj obserwacje od najmniejszej do największej.
- Policz liczbę obserwacji n.
- Oblicz pozycję decyla według wzoru k(n + 1) / 10.
- Odczytaj wartość z odpowiedniej pozycji albo wykonaj interpolację między sąsiednimi obserwacjami.
Jak obliczyć decyl w szeregu przedziałowym?
Szereg przedziałowy przedstawia dane pogrupowane w klasy, dlatego nie znamy dokładnych wartości poszczególnych obserwacji. W takim przypadku decyl wyznacza się przez interpolację wewnątrz klasy decylowej. Najpierw trzeba obliczyć liczebności skumulowane, czyli narastające sumy liczebności kolejnych klas.
Dla decyla o numerze k stosuje się wzór:
Dk = x0 + [(k · n / 10 − ns) / ni] · h
Poszczególne symbole oznaczają:
- x0 – dolną granicę klasy, w której znajduje się decyl
- n – łączną liczebność zbiorowości
- ns – liczebność skumulowaną klasy poprzedzającej klasę decylową
- ni – liczebność klasy decylowej
- h – rozpiętość klasy decylowej
Obliczenie decyla w szeregu przedziałowym przebiega w następującej kolejności:
- Uporządkuj klasy rosnąco i zapisz ich liczebności.
- Oblicz liczebność skumulowaną dla każdej klasy.
- Wyznacz pozycję decyla jako k · n / 10 i znajdź pierwszą klasę, której liczebność skumulowana osiąga tę pozycję lub ją przekracza.
- Podstaw dane do wzoru interpolacyjnego.
Granice klas powinny być określone konsekwentnie. W zależności od przyjętej konwencji rozpiętość klasy może być interpretowana różnie, dlatego wzór trzeba stosować zgodnie z konstrukcją tabeli. Przy danych przedziałowych wynik jest przybliżeniem, ponieważ obliczenia zakładają równomierne rozmieszczenie obserwacji wewnątrz klasy.
Przykład obliczenia czwartego decyla
Załóżmy, że zebrano 100 obserwacji pogrupowanych w przedziały o szerokości 10:
| Przedział | Liczebność | Liczebność skumulowana |
|---|---|---|
| 0–10 | 20 | 20 |
| 10–20 | 30 | 50 |
| 20–30 | 25 | 75 |
| 30–40 | 25 | 100 |
Szukamy D4. Jego pozycja wynosi:
4 · 100 / 10 = 40
Czterdziesta obserwacja znajduje się w klasie 10–20, ponieważ liczebność skumulowana po pierwszej klasie wynosi 20, a po drugiej 50. Do wzoru podstawiamy: x0 = 10, n = 100, ns = 20, ni = 30 oraz h = 10.
D4 = 10 + [(40 − 20) / 30] · 10 = 10 + 6,67 = 16,67
Czwarty decyl wynosi więc w przybliżeniu 16,67. Oznacza to, że około 40% obserwacji ma wartość nie większą niż ta wartość, przy założeniu równomiernego rozkładu danych w klasie 10–20.
Jak obliczyć decyl w Excelu?
W arkuszu kalkulacyjnym decyl można potraktować jako percentyl. Przykładowo D4 odpowiada P40, więc argument funkcji wynosi 0,4.
W Excelu możesz użyć funkcji:
- =PERCENTYL.PRZEDZ(A2:A101;0,4) dla czwartego decyla
- =PERCENTYL.PRZEDZ(A2:A101;0,5) dla piątego decyla, czyli mediany
- =PERCENTYL.PRZEDZ(A2:A101;0,9) dla dziewiątego decyla
- W starszych wersjach Excela może być dostępna funkcja PERCENTYL, działająca według podobnej zasady.
Funkcje percentylowe stosują interpolację, a szczegóły algorytmu mogą różnić się między funkcjami, wersjami programu i innymi narzędziami statystycznymi. Minimalna różnica wyniku nie musi oznaczać błędu, jeśli zastosowano odmienne konwencje obliczeniowe. Najczęstsze pomyłki to brak sortowania danych oraz wpisanie 4 zamiast 0,4 dla czwartego decyla.
Najważniejsza zasada jest prosta: najpierw ustal, czy masz pojedyncze obserwacje, czy dane pogrupowane w przedziały. Dla szeregu szczegółowego używasz pozycji obserwacji, a dla szeregu przedziałowego – liczebności skumulowanej i interpolacji.
