Funkcja kwadratowa – co oznacza b we wzorze?
We wzorze funkcji kwadratowej f(x) = ax2 + bx + c współczynnik b wpływa przede wszystkim na położenie wierzchołka paraboli. Nie jest punktem przecięcia z osią OY – ten punkt określa c.
Czym jest współczynnik b?
Współczynnik b stoi przy pierwszej potędze x. Współczynnik a określa kierunek ramion i ich rozchylenie, a c wskazuje punkt przecięcia wykresu z osią OY, czyli (0, c). Rola b nie jest widoczna na wykresie tak bezpośrednio. W połączeniu ze współczynnikiem a decyduje jednak o poziomym położeniu wierzchołka paraboli, a pośrednio także o jego wysokości.
Jak b wpływa na wierzchołek paraboli?
Pierwszą współrzędną wierzchołka, oznaczaną przez p, obliczamy ze wzoru:
p = −b / 2a
Oznacza to, że samej wartości b nie można interpretować niezależnie od a. Dopiero oba współczynniki razem wyznaczają położenie osi symetrii paraboli, której równanie ma postać x = p.
Przy założeniu, że a > 0, znak współczynnika b pozwala określić, po której stronie osi OY znajduje się wierzchołek:
- b = 0 – wierzchołek leży na osi OY.
- b > 0 – wtedy p < 0, więc wierzchołek znajduje się po lewej stronie osi OY.
- b < 0 – wtedy p > 0, więc wierzchołek znajduje się po prawej stronie osi OY.
Gdy a < 0, zależność znaków się odwraca. Na przykład dla funkcji f(x) = x2 + 6x + 2 mamy a = 1 i b = 6, zatem p = −6/2 = −3. Wierzchołek leży trzy jednostki na lewo od osi OY.
Geometryczna interpretacja współczynnika b
Współczynnik b można zinterpretować także jako nachylenie stycznej do paraboli w punkcie przecięcia wykresu z osią OY, czyli w punkcie (0, c). Styczna pokazuje, jak szybko zmienia się wartość funkcji dokładnie w tym miejscu.
Dla osób znających pochodne wynika to bezpośrednio ze wzoru:
f′(x) = 2ax + b
Po podstawieniu x = 0 otrzymujemy f′(0) = b. Dlatego b określa nachylenie stycznej w punkcie (0, c), choć nie jest współrzędną tego punktu.
Najkrócej: współczynnik b, razem z a, wyznacza położenie wierzchołka paraboli, a geometrycznie opisuje nachylenie stycznej w punkcie przecięcia z osią OY.
