Czym jest funkcja gęstości prawdopodobieństwa?
Funkcja gęstości prawdopodobieństwa opisuje, jak prawdopodobieństwo rozkłada się w przypadku zmiennej losowej ciągłej. Nie podaje prawdopodobieństwa jednej konkretnej wartości. Prawdopodobieństwo otrzymuje się dopiero przez obliczenie pola pod wykresem funkcji, czyli całki na wybranym przedziale.
Czym jest funkcja gęstości prawdopodobieństwa?
Funkcja gęstości prawdopodobieństwa, często oznaczana jako f(x), służy do opisu rozkładu zmiennej losowej ciągłej. Taką zmienną może być na przykład wzrost osoby, temperatura, czas oczekiwania albo masa przedmiotu. Jej wynik może przyjmować dowolnie wiele wartości z określonego przedziału.
W przypadku zmiennej ciągłej prawdopodobieństwo uzyskania dokładnie jednej wartości wynosi zero. Dla pomiaru wzrostu nie ma więc sensu przypisywanie dodatniego prawdopodobieństwa dokładnie wartości 175 cm, ponieważ między 175 cm a 175,0001 cm znajduje się nieskończenie wiele innych możliwości. Znaczenie ma natomiast prawdopodobieństwo znalezienia wyniku w przedziale, na przykład od 170 do 180 cm.
Najważniejsze rozróżnienie brzmi: wartość funkcji f(x) w punkcie nie jest prawdopodobieństwem. Określa ona gęstość prawdopodobieństwa w otoczeniu tego punktu, czyli tempo, w jakim prawdopodobieństwo „zbiera się” na osi liczbowej. Prawdopodobieństwo przedziału wyznacza całka z funkcji gęstości.
PDF a rozkład dyskretny – czym się różnią?
Funkcja gęstości dotyczy rozkładów ciągłych. Dla zmiennych dyskretnych, takich jak wynik rzutu kostką, stosuje się funkcję masy prawdopodobieństwa, oznaczaną skrótem PMF. W takim przypadku można przypisać prawdopodobieństwo konkretnemu wynikowi, na przykład P(X = 3).
| Aspekt | Rozkład dyskretny (PMF) | Rozkład ciągły (PDF) |
|---|---|---|
| Prawdopodobieństwo w punkcie | Może być większe od zera, na przykład dla wyniku rzutu kostką. | Dla pojedynczej wartości wynosi zero. |
| Sposób obliczania prawdopodobieństwa | Prawdopodobieństwa poszczególnych wyników sumuje się. | Prawdopodobieństwo przedziału oblicza się za pomocą całki. |
| Interpretacja graficzna | Prawdopodobieństwa można przedstawiać jako wartości przypisane konkretnym punktom. | Prawdopodobieństwo odpowiada polu pod wykresem funkcji. |
Różnica między sumowaniem a całkowaniem wynika z rodzaju możliwych wyników. W rozkładzie dyskretnym analizuje się oddzielne wartości. W rozkładzie ciągłym prawdopodobieństwo jest rozłożone na przedziałach, dlatego trzeba uwzględnić całą powierzchnię pod wykresem.
Jakie właściwości ma funkcja gęstości?
Każda funkcja gęstości prawdopodobieństwa musi spełniać kilka podstawowych warunków. Wyjaśniają one, dlaczego można na jej podstawie obliczać prawdopodobieństwa:
- Nieujemność – dla każdej wartości x zachodzi f(x) ≥ 0, ponieważ prawdopodobieństwo nie może być ujemne.
- Unormowanie – całka z funkcji po całej dziedzinie wynosi 1, czyli całe prawdopodobieństwo rozkładu musi sumować się do 100%.
- Prawdopodobieństwo przedziału – prawdopodobieństwo, że zmienna przyjmie wartość od a do b, jest równe całce ∫ab f(x) dx.
Warunek unormowania można zapisać jako:
∫−∞∞ f(x) dx = 1
Oznacza to, że całe pole pod wykresem funkcji gęstości, rozciągającym się po wszystkich możliwych wartościach zmiennej, musi być równe 1. Jeśli interesuje nas tylko określony zakres, obliczamy pole pod wykresem w jego granicach. Dla przedziału [a, b] otrzymujemy:
P(a ≤ X ≤ b) = ∫ab f(x) dx
W przypadku zmiennej ciągłej końce przedziału nie zmieniają wyniku, dlatego prawdopodobieństwa przedziałów [a, b], (a, b), [a, b) i (a, b] są takie same. Pojedyncze punkty mają prawdopodobieństwo równe zero.
Do czego wykorzystuje się funkcję gęstości?
Funkcja gęstości jest używana wtedy, gdy wyników nie da się sensownie policzyć jako oddzielnych kategorii. W statystyce opisuje między innymi rozkład normalny, wykorzystywany do modelowania pomiarów i analizy danych. Pozwala obliczać prawdopodobieństwo, że wynik znajdzie się w określonym zakresie, a także wyznaczać dystrybuantę, czyli funkcję opisującą prawdopodobieństwo, że zmienna nie przekroczy danej wartości.
W inżynierii funkcje gęstości pomagają analizować zmienność pomiarów, czas działania urządzeń i niezawodność systemów. W fizyce stosuje się je do opisu wyników pomiarów. Przykładowo w mechanice kwantowej kwadrat modułu funkcji falowej może określać gęstość prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w danym miejscu.
Najkrócej mówiąc, PDF nie mówi, jakie jest prawdopodobieństwo jednej dokładnej wartości. Pokazuje, jak prawdopodobieństwo jest rozmieszczone, a całkowanie tego rozkładu na przedziale daje prawdopodobieństwo uzyskania wyniku należącego do tego przedziału.
