Jak narysować funkcję homograficzną?

Aby narysować funkcję homograficzną, sprowadź ją do postaci kanonicznej \(f(x)=\frac{A}{x-p}+q\), wyznacz asymptoty \(x=p\) i \(y=q\), a następnie dorysuj hiperbolę jako przesunięty wykres \(y=\frac{A}{x}\).

Algorytm rysowania funkcji homograficznej

Wykresem funkcji homograficznej jest hiperbola. Nie trzeba wyznaczać wielu punktów tabelą wartości. Najpierw ustalasz położenie asymptot, które tworzą szkielet wykresu, a potem zaznaczasz gałęzie hiperboli po właściwych stronach tych prostych.

1. Sprowadź funkcję do postaci kanonicznej – zapisz ją jako \(f(x)=\frac{A}{x-p}+q\). Jeśli funkcja ma postać \(\frac{ax+b}{cx+d}\), wyłącz odpowiedni składnik w liczniku, tak aby pojawił się mianownik \(cx+d\).
2. Wyznacz asymptoty – asymptota pionowa ma równanie \(x=p\), a asymptota pozioma \(y=q\). Proste te przecinają się w środku hiperboli.
3. Określ położenie gałęzi – sprawdź znak współczynnika \(A\). Dla \(A>0\) gałęzie leżą w pierwszej i trzeciej ćwiartce względem punktu \((p,q)\), a dla \(A
4. Zaznacz punkty pomocnicze – możesz obliczyć kilka wartości funkcji albo wykorzystać przecięcia z osiami. Nie jest to konieczne do ustalenia kształtu, ale pomaga dokładniej narysować wykres.
5. Narysuj wykres – asymptoty zaznacz przerywanymi liniami, a następnie poprowadź dwie gałęzie hiperboli. Wykres zbliża się do asymptot, lecz ich nie przecina.

Jak przejść do postaci kanonicznej?

Najprostsza metoda polega na dopasowaniu licznika do mianownika. Załóżmy, że masz funkcję:

\[
f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}
\]

Chcesz zapisać licznik w postaci \(k(cx+d)+r\). Wtedy:

\[
f(x)=\frac{k(cx+d)+r}{cx+d}
=k+\frac{r}{cx+d}.
\]

Następnie wyłącz stałą z mianownika. Otrzymasz postać \(\frac{A}{x-p}+q\). To właśnie ona od razu pokazuje przesunięcie wykresu podstawowej hiperboli \(y=\frac{A}{x}\) o wektor \([p,q]\).

Przykład – funkcja \(f(x)=\frac{3x+1}{x-2}\)

Najpierw dopasuj licznik do mianownika \(x-2\). Ponieważ:

\[
3x+1=3(x-2)+7,
\]

funkcję można przekształcić następująco:

\[
f(x)=\frac{3(x-2)+7}{x-2}
=3+\frac{7}{x-2}.
\]

Otrzymaliśmy postać kanoniczną:

\[
f(x)=\frac{7}{x-2}+3.
\]

Stąd odczytujemy:

• \(A=7\),
• \(p=2\),
• \(q=3\).

Asymptoty mają więc równania:

\[
x=2 \qquad \text{oraz} \qquad y=3.
\]

Wykres funkcji \(y=\frac{7}{x}\) przesuwamy o wektor \([2,3]\). Ponieważ \(A>0\), gałęzie znajdują się w pierwszej i trzeciej ćwiartce względem punktu \((2,3)\).

Możesz też zaznaczyć przecięcia z osiami. Dla miejsca zerowego przyjmujemy licznik równy zero:

\[
3x+1=0,
\qquad x=-\frac{1}{3}.
\]

Wykres przecina więc oś \(OX\) w punkcie \(\left(-\frac{1}{3},0\right)\). Dla \(x=0\):

\[
f(0)=\frac{1}{-2}=-\frac{1}{2},
\]

więc przecięcie z osią \(OY\) to punkt \(\left(0,-\frac{1}{2}\right)\).

Jak interpretować \(A\), \(p\) i \(q\)?

Parametry w postaci kanonicznej opisują zarówno położenie, jak i kierunek gałęzi hiperboli:

Asymptota \(x=p\) wyznacza wykluczony argument, dlatego dziedzina funkcji to \(\mathbb{R}\setminus\{p\}\). Asymptota \(y=q\) wskazuje wartość, której funkcja nie przyjmuje, więc zbiór wartości to \(\mathbb{R}\setminus\{q\}\).

Przed zakończeniem rysowania sprawdź, czy na wykresie znajdują się wszystkie najważniejsze elementy:

• postać kanoniczna \(f(x)=\frac{A}{x-p}+q\),
• asymptota pionowa \(x=p\),
• asymptota pozioma \(y=q\),
• gałęzie hiperboli po właściwych stronach asymptot,
• przynajmniej jeden punkt pomocniczy, jeśli szkic wymaga większej dokładności.