Jak obliczyć sinus kąta ostrego w trójkącie?

Sinus kąta ostrego w trójkącie prostokątnym to stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw tego kąta do długości przeciwprostokątnej. Obliczysz go ze wzoru: sin(α) = a/c.

Jak rozpoznać boki potrzebne do obliczeń?

Wzór dotyczy trójkąta prostokątnego, czyli takiego, który ma jeden kąt prosty. Przyprostokątne tworzą ten kąt, a przeciwprostokątna leży naprzeciw niego i jest najdłuższym bokiem trójkąta.

Jeśli kąt oznaczysz jako α, bok leżący naprzeciw tego kąta oznacz jako a, a przeciwprostokątną jako c. Wtedy:

sin(α) = a/c

Jak obliczyć sinus kąta krok po kroku?

Postępuj według następującej kolejności:

1. Sprawdź, czy trójkąt jest prostokątny.
2. Znajdź kąt ostry, którego sinus chcesz obliczyć.
3. Wskaż przyprostokątną leżącą naprzeciw tego kąta i oznacz jej długość jako a.
4. Znajdź przeciwprostokątną, czyli bok naprzeciw kąta prostego, i oznacz jej długość jako c.
5. Podziel długość boku naprzeciw kąta przez długość przeciwprostokątnej, korzystając ze wzoru sin(α) = a/c.

Jeżeli nie znasz długości przeciwprostokątnej, możesz najpierw wyznaczyć ją z twierdzenia Pitagorasa. Dla przyprostokątnych o długościach a i b oraz przeciwprostokątnej c obowiązuje równanie:

a² + b² = c²

Przykład – trójkąt o bokach 3, 4 i 5

Rozważmy trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 3 i 4 oraz przeciwprostokątnej długości 5. Obliczmy sinus kąta α leżącego naprzeciw boku o długości 3.

W tym przypadku:

• a – przyprostokątna naprzeciw kąta α ma długość 3
• c – przeciwprostokątna ma długość 5
• sin(α) – stosunek tych długości

Podstawiamy dane do wzoru:

sin(α) = 3/5 = 0,6

Sinus tego kąta wynosi więc 0,6. Gdybyśmy wybrali drugi kąt ostry, bok naprzeciw niego miałby długość 4, dlatego jego sinus wyniósłby 4/5.

Na co uważać?

Podczas obliczeń najłatwiej pomylić bok naprzeciw kąta z przyprostokątną, która do tego kąta przylega. Pomocne jest wyobrażenie sobie, że stoisz przy wybranym kącie i patrzysz na bok znajdujący się po przeciwnej stronie.

Sprawdź także następujące warunki:

• Sinus wykorzystuje w mianowniku przeciwprostokątną, a nie dowolny bok.
• Do licznika wpisujesz przyprostokątną leżącą naprzeciw wybranego kąta.
• Wartość sinusa kąta ostrego jest większa od 0 i mniejsza od 1.
• Definicji stosunku boków użytej tutaj nie stosuje się bezpośrednio do trójkąta, który nie jest prostokątny.

Najkrótsza reguła brzmi: znajdź bok naprzeciw kąta, podziel jego długość przez długość przeciwprostokątnej i otrzymasz sinus tego kąta.