Jak obliczyć arctg? Poradnik krok po kroku
Arctg, czyli arcus tangens, to funkcja odwrotna do tangensa. Aby obliczyć arctg(x), użyj na kalkulatorze przycisku tan⁻¹ albo funkcji atan(x) w programie. Przed obliczeniem sprawdź, czy wynik ma być podany w stopniach, czy w radianach.
Czym jest arctg?
Zapis y = arctg(x) oznacza, że tg(y) = x. Innymi słowy, arctg pozwala wyznaczyć kąt, którego tangens ma wartość x.
Przykład:
arctg(1) = 45° = π/4
Funkcja tangens przyjmuje tę samą wartość dla wielu kątów, dlatego przy definiowaniu arctg wybiera się główny przedział wartości kąta. Wynik arctg znajduje się w przedziale (−π/2, π/2), czyli od −90° do 90°, bez końców przedziału.
Jak obliczyć arctg na kalkulatorze?
W kalkulatorach naukowych funkcja arcus tangens jest zwykle oznaczona jako tan⁻¹, arctan albo atan. Symbol tan⁻¹ w tym zapisie oznacza funkcję odwrotną do tangensa, a nie odwrotność liczby tan.
Aby obliczyć wartość funkcji, wykonaj następujące czynności:
- Włącz kalkulator naukowy.
- Wybierz jednostkę kąta: DEG dla stopni albo RAD dla radianów.
- Wpisz liczbę, na przykład 1.
- Naciśnij przycisk tan⁻¹, arctan lub atan.
Dla liczby 1 wynik będzie następujący:
arctg(1) = 45° w trybie DEG oraz arctg(1) = 0,785398… w trybie RAD. Ta sama wartość jest więc zapisana na dwa sposoby, zależnie od wybranej jednostki.
Jeśli kalkulator podaje wynik w radianach, możesz przeliczyć go na stopnie, mnożąc przez 180/π. W drugą stronę stopnie przelicza się na radiany, mnożąc przez π/180.
W programowaniu do obliczenia arctg jednej liczby stosuje się funkcję atan(x). W przypadku kąta wyznaczanego na podstawie współrzędnych punktu lepiej użyć atan2(y, x), ponieważ funkcja ta uwzględnia znaki obu współrzędnych i potrafi wskazać właściwą ćwiartkę układu współrzędnych.
Najczęściej spotykane sposoby obliczania arctg to:
- kalkulator naukowy z funkcją tan⁻¹ lub arctan
- funkcja atan(x) w języku programowania
- funkcja atan2(y, x) dla współrzędnych punktu
- tablice wartości funkcji trygonometrycznych w przypadku podstawowych kątów
Typowe wartości arctg
Poniższa tabela pokazuje najczęściej używane wartości funkcji arcus tangens:
| Wartość x | Wynik w stopniach | Wynik w radianach |
|---|---|---|
| −1 | −45° | −π/4 |
| −√3/3 | −30° | −π/6 |
| 0 | 0° | 0 |
| √3/3 | 30° | π/6 |
| 1 | 45° | π/4 |
| √3 | 60° | π/3 |
Dla bardzo dużych dodatnich wartości x wynik zbliża się do π/2, czyli 90°, ale nigdy jej nie osiąga. Dla bardzo dużych wartości ujemnych zbliża się do −π/2, czyli −90°.
Jak komputer oblicza arctg?
Programy i kalkulatory nie muszą przechowywać wszystkich możliwych wyników w tablicach. Wykorzystują algorytmy numeryczne, w tym przybliżenia oparte na szeregach Taylora lub Maclaurina.
Dla wartości spełniających warunek |x| < 1 można wykorzystać szereg:
arctg(x) = x − x³/3 + x⁵/5 − x⁷/7 + …
Dodawanie kolejnych wyrazów zwiększa dokładność przybliżenia. W bibliotekach matematycznych stosuje się także przekształcenia i wydajniejsze algorytmy, dzięki którym obliczenia są szybkie również dla wartości spoza tego prostego przedziału.
W praktyce, gdy potrzebujesz wyniku do zadania, wystarczy użyć funkcji tan⁻¹ na kalkulatorze. Najczęstszym źródłem błędu nie jest samo obliczenie, lecz ustawienie niewłaściwej jednostki kąta.
