Jak obliczyć błąd względny?
Błąd względny oblicza się jako iloraz błędu bezwzględnego i wartości dokładnej: δ = |x − p| / x. Aby podać wynik w procentach, pomnóż go przez 100%. W tym wzorze x oznacza wartość dokładną, a p – wartość przybliżoną.
Wzory na błąd bezwzględny i względny
Wartość dokładna to rzeczywista wartość badanej wielkości, na przykład faktyczna długość przedmiotu albo rzeczywista liczba przed zaokrągleniem. Wartość przybliżona jest wynikiem pomiaru, oszacowania lub zaokrąglenia.
| Cecha | Błąd bezwzględny | Błąd względny |
|---|---|---|
| Wzór | Δx = |x − p| | δ = Δx / x = |x − p| / x |
| Jednostka | Taka sama jak badana wielkość | Brak jednostki, często procenty |
| Interpretacja | Pokazuje, o ile jednostek różnią się wartości | Pokazuje wielkość błędu w stosunku do wartości dokładnej |
Symbol Δx oznacza błąd bezwzględny, x – wartość dokładną, a p – wartość przybliżoną. Wartość bezwzględna sprawia, że wynik błędu jest nieujemny, niezależnie od tego, czy przybliżenie jest większe, czy mniejsze od wartości dokładnej.
Błąd względny jest bezwymiarowy. Po pomnożeniu przez 100% otrzymujemy jego zapis procentowy:
δ = (|x − p| / x) · 100%
Jak obliczyć błąd względny krok po kroku?
W typowym zadaniu wykonaj następujące działania:
- Ustal wartości x i p – rozpoznaj wartość dokładną oraz przybliżoną.
- Oblicz błąd bezwzględny – zastosuj wzór Δx = |x − p|.
- Podziel błąd bezwzględny przez wartość dokładną – oblicz δ = Δx / x.
- Zamień wynik na procenty – pomnóż otrzymaną wartość przez 100%, jeśli zadanie wymaga wyniku procentowego.
W mianowniku zawsze znajduje się wartość dokładna. To częsty punkt pomyłek, zwłaszcza gdy przybliżenie powstało przez zaokrąglenie. Jeśli wartość dokładna wynosi zero, błąd względny jest nieokreślony, ponieważ nie można dzielić przez zero.
Przykład – zaokrąglenie liczby 48 do 50
Liczbę 48 zaokrąglono do pełnych dziesiątek, otrzymując 50. W tym przypadku:
x = 48 – wartość dokładna
p = 50 – wartość przybliżona
Najpierw obliczamy błąd bezwzględny:
Δx = |x − p|
Δx = |48 − 50|
Δx = 2
Następnie wyznaczamy błąd względny:
δ = Δx / x
δ = 2 / 48
δ ≈ 0,0417
Po zapisaniu wyniku w procentach:
δ ≈ 0,0417 · 100% = 4,17%
Oznacza to, że przybliżenie liczby 48 przez 50 obarczone jest błędem względnym wynoszącym około 4,17%. Błąd bezwzględny wynosi 2, czyli ma tę samą jednostkę co przybliżana wartość.
Jak interpretować błąd względny?
Sam błąd bezwzględny nie pokazuje, jak duża jest pomyłka w porównaniu ze skalą mierzonej wielkości. Pomyłka o 1 cm przy pomiarze długości 10 cm oznacza błąd względny równy 10%. Taka sama pomyłka przy długości 1000 cm daje tylko 0,1%.
Dlatego błąd względny ułatwia porównywanie wyników dotyczących wielkości o różnych wartościach. Ten sam błąd bezwzględny może oznaczać małą niedokładność przy dużej wartości dokładnej, ale bardzo dużą niedokładność przy małej wartości.
Jeżeli przybliżenie jest większe od wartości dokładnej, mówi się o przybliżeniu z nadmiarem. Gdy jest mniejsze, mamy przybliżenie z niedomiarem. Dla obliczenia błędu względnego oba przypadki traktuje się tak samo, ponieważ wzór zawiera wartość bezwzględną.
Najważniejszy zapis do zapamiętania to δ = |x − p| / x, a w wersji procentowej δ = (|x − p| / x) · 100%.
