Jak obliczyć całkę nieoznaczoną funkcji?
Całka nieoznaczona funkcji to rodzina wszystkich funkcji pierwotnych, czyli takich funkcji \(F(x)\), dla których \(F'(x)=f(x)\). Aby ją obliczyć, trzeba znaleźć funkcję o pochodnej równej funkcji podcałkowej i dopisać stałą całkowania \(C\): \(\int f(x)\,dx=F(x)+C\).
Czym jest całka nieoznaczona?
Całkowanie jest operacją odwrotną do różniczkowania. Jeżeli pochodna funkcji \(F(x)\) wynosi \(f(x)\), zapisujemy:
\[
F'(x)=f(x)
\]
Wtedy \(F(x)\) jest funkcją pierwotną funkcji \(f(x)\), a całka nieoznaczona ma postać:
\[
\int f(x)\,dx=F(x)+C
\]
Stała \(C\) jest konieczna, ponieważ pochodna każdej stałej wynosi zero. Na przykład funkcje \(x^2\), \(x^2+5\) i \(x^2-12\) mają tę samą pochodną \(2x\). Dlatego:
\[
\int 2x\,dx=x^2+C
\]
Po obliczeniu wyniku można sprawdzić go przez różniczkowanie. Jeśli pochodna otrzymanej funkcji, z pominięciem stałej \(C\), jest równa funkcji podcałkowej, rachunek jest poprawny.
Podstawowe własności i wzory
Najpierw warto uprościć wyrażenie pod całką. Całka jest liniowa, więc stałe można wyciągać przed znak całki, a sumę lub różnicę rozdzielać na osobne składniki:
\[
\int \big(af(x)+bg(x)\big)\,dx
=
a\int f(x)\,dx+b\int g(x)\,dx
\]
Przykładowo:
\[
\int(4x+1)\,dx
=
4\int x\,dx+\int1\,dx
=
2x^2+x+C
\]
Poniższa tabela zawiera najczęściej używane wzory:
| Funkcja \(f(x)\) | Całka \(\int f(x)\,dx\) |
|---|---|
| \(1\) | \(x+C\) |
| \(x^n,\ n\neq -1\) | \(\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\) |
| \(\frac{1}{x}\) | \(\ln|x|+C\) |
| \(e^x\) | \(e^x+C\) |
| \(a^x,\ a>0,\ a\neq1\) | \(\frac{a^x}{\ln a}+C\) |
| \(\sin x\) | \(-\cos x+C\) |
| \(\cos x\) | \(\sin x+C\) |
| \(\frac{1}{1+x^2}\) | \(\arctan x+C\) |
| \(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) | \(\arcsin x+C\) |
Wzór potęgowy działa dla \(n\neq -1\). Przypadek \(n=-1\) prowadzi do osobnego wzoru:
\[
\int x^{-1}\,dx=\int\frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C
\]
Jak podejść do obliczania całki?
Przy rozwiązywaniu zadania można zastosować następującą kolejność:
- Rozpoznaj wzór podstawowy – sprawdź, czy funkcja podcałkowa znajduje się w tabeli znanych całek.
- Uprość wyrażenie – rozbij sumę lub różnicę, wyciągnij stałe i zamień pierwiastki na potęgi, na przykład \(\sqrt{x}=x^{1/2}\).
- Sprawdź funkcję złożoną – jeśli pojawia się wyrażenie oraz jego pochodna, rozważ podstawienie.
- Rozpoznaj iloczyn – gdy całka zawiera iloczyn różnych typów funkcji, na przykład \(x e^x\), rozważ całkowanie przez części.
- Dopisz \(C\) i sprawdź wynik – zróżniczkuj otrzymaną funkcję, aby potwierdzić poprawność rachunku.
W prostych przypadkach wystarcza rozpoznanie funkcji pierwotnej. Dla bardziej złożonych wyrażeń najczęściej stosuje się podstawienie albo całkowanie przez części.
Całkowanie przez podstawienie
Podstawienie jest przydatne, gdy pod całką znajduje się funkcja złożona, a obok niej występuje jej pochodna. Wybiera się wtedy nowe oznaczenie, na przykład:
\[
u=g(x),\qquad du=g'(x)\,dx
\]
Rozważmy całkę:
\[
\int 2x\cos(x^2)\,dx
\]
Wybieramy \(u=x^2\), ponieważ \(du=2x\,dx\). Całka przyjmuje więc postać:
\[
\int \cos u\,du
\]
Korzystamy ze wzoru \(\int\cos u\,du=\sin u+C\), a następnie wracamy do zmiennej \(x\):
\[
\int 2x\cos(x^2)\,dx
=
\sin(x^2)+C
\]
Można to sprawdzić, różniczkując \(\sin(x^2)\):
\[
\big(\sin(x^2)\big)’=2x\cos(x^2)
\]
Całkowanie przez części
Całkowanie przez części stosuje się często do iloczynów funkcji, gdy jedna z nich upraszcza się po różniczkowaniu. Wzór ma postać:
\[
\int u(x)v'(x)\,dx
=
u(x)v(x)-\int u'(x)v(x)\,dx
\]
Obliczmy:
\[
\int xe^x\,dx
\]
Przyjmujemy \(u=x\) oraz \(dv=e^x\,dx\). Wtedy:
\[
du=dx,\qquad v=e^x
\]
Po podstawieniu do wzoru otrzymujemy:
\[
\int xe^x\,dx
=
xe^x-\int e^x\,dx
\]
Całkujemy pozostały składnik:
\[
\int xe^x\,dx=xe^x-e^x+C
\]
Wynik można zapisać także w postaci:
\[
\int xe^x\,dx=e^x(x-1)+C
\]
Na jakie błędy uważać?
Podczas obliczeń szczególnie często pojawiają się następujące pomyłki:
- Pomijanie stałej całkowania \(C\) w wyniku całki nieoznaczonej.
- Traktowanie całki iloczynu jak iloczynu całek, chociaż \(\int f(x)g(x)\,dx\neq\int f(x)\,dx\cdot\int g(x)\,dx\).
- Traktowanie całki ilorazu jak ilorazu całek, chociaż \(\int\frac{f(x)}{g(x)}\,dx\neq\frac{\int f(x)\,dx}{\int g(x)\,dx}\).
- Pomijanie pochodnej funkcji wewnętrznej przy podstawieniu, na przykład czynnika \(2x\) w całce z \(\cos(x^2)\).
Nie każdą całkę można zapisać za pomocą funkcji elementarnych. Przykładami są między innymi \(\int e^{-x^2}\,dx\) oraz \(\int\frac{\sin x}{x}\,dx\). W takich sytuacjach stosuje się przybliżenia numeryczne albo funkcje specjalne. W typowych zadaniach szkolnych i akademickich punkt wyjścia pozostaje jednak ten sam: znajdź funkcję, której pochodna jest równa funkcji podcałkowej, zastosuj właściwą metodę i dopisz \(C\).
