Jak obliczyć ciśnienie gazu ze wzoru?

Ciśnienie gazu obliczysz na dwa główne sposoby. Gdy znasz liczbę cząsteczek i ich ruch, użyj wzoru kinetyczno-molekularnego \(p=\frac{1}{3}\frac{Nm\overline{v^2}}{V}\). Gdy znasz liczbę moli, objętość i temperaturę, zastosuj równanie Clapeyrona \(pV=nRT\), czyli \(p=\frac{nRT}{V}\).

Jak wybrać wzór na ciśnienie gazu?

Oba wzory opisują gaz doskonały, czyli model, w którym pomija się objętość własną cząsteczek i ich wzajemne oddziaływania, poza krótkimi, sprężystymi zderzeniami. Różnią się poziomem opisu.

• Model mikroskopowy stosujesz, gdy dane dotyczą liczby cząsteczek \(N\), masy jednej cząsteczki \(m\) oraz średniego kwadratu prędkości \(\overline{v^2}\).
• Model makroskopowy stosujesz, gdy znasz liczbę moli \(n\), temperaturę \(T\) i objętość \(V\).

Najważniejsza różnica polega na tym, że \(N\) oznacza liczbę pojedynczych cząsteczek, a \(n\) – liczbę moli. Nie wolno traktować tych symboli jako zamienników.

Parametry potrzebne do obliczeń

Model kinetyczno-molekularny

Ciśnienie powstaje wskutek zderzeń cząsteczek ze ściankami naczynia. Każde zderzenie zmienia pęd cząsteczki, a suma zmian pędu w czasie określa siłę działającą na ściankę. Po podzieleniu siły przez pole powierzchni otrzymujemy ciśnienie.

Wzór na ciśnienie gazu doskonałego ma postać:

\[
p=\frac{1}{3}\frac{Nm\overline{v^2}}{V}
\]

Symbol \(\overline{v^2}\) oznacza średni kwadrat prędkości, a nie kwadrat zwykłej średniej prędkości. Wygodnie można też używać prędkości skutecznej, czyli RMS:

\[
v_{\mathrm{RMS}}=\sqrt{\overline{v^2}}
\]

Zależność pokazuje, że przy stałych pozostałych parametrach ciśnienie rośnie wraz z liczbą cząsteczek, masą jednej cząsteczki oraz średnim kwadratem prędkości. Maleje natomiast, gdy zwiększa się objętość naczynia. Występuje tu także gęstość liczbowa \(N/V\):

\[
p=\frac{1}{3}\frac{N}{V}m\overline{v^2}
\]

Prędkość cząsteczek wiąże się z temperaturą. Dla gazu doskonałego zachodzi zależność:

\[
\frac{1}{2}m\overline{v^2}=\frac{3}{2}kT
\]

Po jej uwzględnieniu otrzymujemy \(pV=NkT\). Dlatego przy stałej temperaturze ciśnienie nie zależy od masy pojedynczej cząsteczki. Cięższe cząsteczki poruszają się wtedy średnio wolniej. Zależność \(p\propto m\) obowiązuje tylko wtedy, gdy prędkość, a dokładniej \(\overline{v^2}\), pozostaje stała.

Jak obliczyć ciśnienie z równania Clapeyrona?

Równanie Clapeyrona jest zwykle najwygodniejsze, gdy w zadaniu podano masę gazu, jego temperaturę i objętość. Najpierw trzeba zamienić masę na liczbę moli:

\[
n=\frac{m_{\mathrm{gazu}}}{M}
\]

Następnie korzystasz ze wzoru:

\[
p=\frac{nRT}{V}
\]

Obliczenia wykonuj w następującej kolejności:

1. Sprawdź, jakie dane podano i oblicz liczbę moli, jeśli znana jest masa gazu.
2. Przelicz temperaturę na kelwiny, objętość na metry sześcienne, a ciśnienie końcowe otrzymasz w paskalach przy użyciu stałej \(R=8{,}314\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}\).
3. Przekształć równanie do postaci \(p=\frac{nRT}{V}\).
4. Podstaw dane, wykonaj obliczenia i zapisz wynik razem z jednostką.

Przykład: w naczyniu o objętości \(2{,}0\ \mathrm{dm^3}\) znajduje się \(0{,}10\ \mathrm{mol}\) gazu w temperaturze \(27^\circ\mathrm{C}\). Temperatura wynosi \(300{,}15\ \mathrm{K}\), a objętość \(0{,}0020\ \mathrm{m^3}\). Zatem:

\[
p=\frac{0{,}10\cdot 8{,}314\cdot 300{,}15}{0{,}0020}
\approx 124\,700\ \mathrm{Pa}
\]

Ciśnienie wynosi więc około \(125\ \mathrm{kPa}\).

Najczęstsze błędy

Przed podstawieniem danych sprawdź następujące kwestie:

• Temperaturę w stopniach Celsjusza zamień na kelwiny.
• Objętość w litrach lub decymetrach sześciennych przelicz na metry sześcienne, jeśli używasz \(R=8{,}314\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}\).
• Masę gazu podziel przez masę molową, aby otrzymać \(n\), a nie liczbę cząsteczek \(N\).
• Nie mieszaj stałych gazowych zapisanych w różnych układach jednostek.

Szybka ściąga jednostek i stałych

Najbezpieczniej stosować układ SI:

• \(p\) – paskal, \(\mathrm{Pa}\)
• \(V\) – metr sześcienny, \(\mathrm{m^3}\)
• \(T\) – kelwin, \(\mathrm{K}\)
• \(n\) – mol, \(\mathrm{mol}\)
• \(R=8{,}314\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}\)

Możesz też użyć stałej:

\[
R=83{,}14\ \mathrm{hPa\cdot dm^3/(mol\cdot K)}
\]

Wtedy ciśnienie podajesz w hektopaskalach, a objętość w decymetrach sześciennych. Temperaturę przeliczysz według wzoru:

\[
T[\mathrm{K}]=t[^\circ\mathrm{C}]+273{,}15
\]

Jeżeli znasz masę gazu w gramach, najpierw wyznacz \(n=m/M\), potem podstaw tę wartość do równania Clapeyrona. Gdy masz natomiast liczbę cząsteczek i ich prędkość, wybierz wzór mikroskopowy.