Jak obliczyć przekątną? Wzory i przykłady obliczeń

Przekątną oblicza się na podstawie twierdzenia Pitagorasa. W prostokącie użyj wzoru d = √(a² + b²), w kwadracie d = a√2, a w prostopadłościanie D = √(a² + b² + c²). Przed rozpoczęciem rachunków ujednolić jednostki, na przykład zamienić metry na centymetry.

Dlaczego działa twierdzenie Pitagorasa?

Przekątna to odcinek łączący dwa przeciwległe wierzchołki figury. W prostokącie lub kwadracie dzieli ona figurę na dwa trójkąty prostokątne. Boki figury są wtedy przyprostokątnymi, a przekątna staje się przeciwprostokątną, czyli najdłuższym bokiem trójkąta.

Twierdzenie Pitagorasa opisuje tę zależność wzorem:

a² + b² = c²

Litery a i b oznaczają przyprostokątne, czyli boki leżące przy kącie prostym. Litera c oznacza przeciwprostokątną. Gdy szukasz przekątnej, trzeba więc podnieść długości boków do kwadratu, dodać wyniki i obliczyć pierwiastek kwadratowy.

Jak obliczyć przekątną prostokąta?

Dla prostokąta o bokach a i b stosuje się wzór:

d = √(a² + b²)

Najłatwiej wykonać obliczenia w następującej kolejności:

1. Zapisz długości dwóch sąsiednich boków prostokąta.
2. Podnieś każdą długość do kwadratu.
3. Dodaj otrzymane kwadraty.
4. Oblicz pierwiastek kwadratowy z sumy.

Przykład: prostokąt ma boki długości 3 cm i 4 cm.

1. Podstaw dane do wzoru: d = √(3² + 4²).
2. Oblicz kwadraty: d = √(9 + 16).
3. Dodaj wartości: d = √25.
4. Wyciągnij pierwiastek: d = 5 cm.

Jeżeli wymiary podano w różnych jednostkach, najpierw trzeba je przeliczyć. Dla boków 50 cm i 2 m możesz zamienić 2 m na 200 cm, a dopiero potem zastosować wzór. Wynik będzie wtedy podany w centymetrach.

Jak obliczyć przekątną kwadratu?

Kwadrat jest szczególnym prostokątem, w którym oba boki mają tę samą długość. Po zastosowaniu twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy:

a² + a² = d²

Po wyłączeniu wspólnego czynnika i spierwiastkowaniu wzór przyjmuje prostszą postać:

d = a√2

Jeżeli bok kwadratu ma 5 cm, obliczenie wygląda tak:

d = 5√2 cm ≈ 7,07 cm

W przybliżeniu √2 wynosi 1,41, więc przekątna kwadratu jest około 1,41 razy dłuższa od jego boku.

Jak obliczyć przekątną prostopadłościanu?

W prostopadłościanie trzeba rozróżnić przekątną ściany i przekątną całej bryły. Przekątna ściany jest przekątną prostokąta, więc oblicza się ją według wzoru d = √(a² + b²). Przekątna bryły łączy dwa przeciwległe wierzchołki, które nie leżą na tej samej ścianie.

Jej wzór to:

D = √(a² + b² + c²)

Można potraktować to jako twierdzenie Pitagorasa zastosowane w dwóch krokach. Najpierw obliczasz przekątną podstawy, a potem używasz jej razem z wysokością jako boków kolejnego trójkąta prostokątnego.

Przykład: prostopadłościan ma wymiary 2 m, 3 m i 6 m.

1. Podstaw dane: D = √(2² + 3² + 6²).
2. Oblicz kwadraty: D = √(4 + 9 + 36).
3. Dodaj wartości: D = √49.
4. Oblicz pierwiastek: D = 7 m.

W tym wzorze wszystkie trzy wymiary muszą być podane w tej samej jednostce. Nie można bezpośrednio łączyć metrów z centymetrami bez wcześniejszego przeliczenia.

Najważniejsze wzory na przekątną

Najczęstsze błędy przy obliczaniu przekątnej

Same wzory są krótkie, ale łatwo pomylić kolejność działań albo zastosować nieodpowiednie dane. Najczęściej pojawiają się następujące błędy:

• Mieszanie jednostek, na przykład użycie jednego boku w centymetrach, a drugiego w metrach.
• Dodawanie boków zamiast dodawania ich kwadratów.
• Pomijanie pierwiastka i uznawanie sumy kwadratów za długość przekątnej.
• Mylenie przekątnej ściany z przekątną całego prostopadłościanu.
• Zaokrąglanie wyniku przed zakończeniem wszystkich działań.

Najprostszy sposób kontroli wyniku polega na sprawdzeniu, czy przekątna jest dłuższa od każdego z boków, ale krótsza od ich sumy. W prostokącie o bokach 3 cm i 4 cm wynik 5 cm spełnia oba warunki.

W praktyce wystarczy rozpoznać figurę, znaleźć powstający trójkąt prostokątny i zastosować twierdzenie Pitagorasa. Dzięki temu nie trzeba zapamiętywać wielu niezależnych wzorów, ponieważ wszystkie wynikają z tej samej zależności.