Jak obliczyć przekątną prostokąta?

Przekątną prostokąta obliczysz ze wzoru d = √(a² + b²), gdzie a i b oznaczają długości sąsiednich boków, a d jest długością przekątnej. Wystarczy podnieść oba boki do kwadratu, dodać wyniki i obliczyć pierwiastek kwadratowy.

Jaki jest wzór na przekątną prostokąta?

Wzór na przekątną prostokąta ma postać:

d = √(a² + b²)

Litera a oznacza długość jednego boku, b długość sąsiedniego boku, a d – przekątną, czyli odcinek łączący dwa przeciwległe wierzchołki prostokąta.

Wzór wynika z Twierdzenia Pitagorasa. Przekątna dzieli prostokąt na dwa przystające trójkąty prostokątne. Boki prostokąta są w nich przyprostokątnymi, a przekątna pełni funkcję przeciwprostokątnej. Dlatego zachodzi zależność d² = a² + b².

Jak obliczyć przekątną krok po kroku?

Do obliczenia potrzebujesz długości dwóch sąsiednich boków. Postępuj według następujących kroków:

1. Podnieś oba boki do kwadratu – oblicz a² oraz b².
2. Dodaj otrzymane wartości – wykonaj działanie a² + b².
3. Wyciągnij pierwiastek kwadratowy z uzyskanej sumy. Wynik będzie długością przekątnej d.

Przykład dla prostokąta o bokach 3 cm i 4 cm:

d = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5 cm

Przed rozpoczęciem rachunków sprowadź oba wymiary do tej samej jednostki. Jeżeli jeden bok podano w metrach, a drugi w centymetrach, przelicz jeden z nich, zanim zastosujesz wzór. Wynik będzie wyrażony w tej samej jednostce co podane boki.

Przykładowe długości przekątnych

Poniższe wartości wykorzystują trójki pitagorejskie, czyli zestawy liczb spełniających równanie a² + b² = d²:

Gdy boki odpowiadają takim zestawom, przekątna wychodzi liczbą całkowitą. W pozostałych przypadkach wynik może zawierać część dziesiętną, dlatego po obliczeniu pierwiastka warto go zaokrąglić zgodnie z potrzebą.

Gdzie przydaje się przekątna prostokąta?

Znajomość przekątnej przydaje się nie tylko w zadaniach matematycznych. Można wykorzystać ją między innymi w następujących sytuacjach:

• Budownictwo – pomiar przekątnych pomaga sprawdzić, czy wyznaczony obrys ma kąty proste. W prostokącie obie przekątne powinny mieć taką samą długość, z uwzględnieniem błędu pomiaru.
• Stolarstwo – pomiar przekątnych ramy ułatwia kontrolę jej prostokątnego kształtu.
• Płytkowanie i układanie podłogi – obliczona przekątna pomieszczenia pomaga planować rozmieszczenie materiału.
• Ekrany i monitory – przekątna wyświetlacza jest odległością między jego przeciwległymi narożnikami i często podaje się ją w calach.

W praktyce pomiarowej często wykorzystuje się też trójkąt 3–4–5. Jeżeli od narożnika odmierzone zostaną odcinki 3 i 4 jednostek, odległość między ich końcami powinna wynosić 5 jednostek. Taki układ pomaga szybko sprawdzić, czy zachowano kąt prosty.

Dla kwadratu, który jest szczególnym przypadkiem prostokąta, oba boki mają tę samą długość. Wtedy wzór upraszcza się do d = a√2. W każdym prostokącie przekątna jest dłuższa od każdego z jego boków, ponieważ jest przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego.