Jak obliczyć przekątną kwadratu?
Przekątną kwadratu obliczysz, mnożąc długość jego boku przez pierwiastek z 2. Wzór to: d = a√2, gdzie d oznacza przekątną, a a – długość boku.
Jaki jest wzór na przekątną kwadratu?
Jeśli bok kwadratu ma długość a, jego przekątna ma długość:
d = a√2
Wynik z pierwiastkiem jest dokładny. Do obliczeń przybliżonych można przyjąć, że √2 ≈ 1,41, więc:
d ≈ a · 1,41
Przekątna i bok muszą mieć tę samą jednostkę. Dla boku długości 5 cm wynik dokładny wynosi 5√2 cm, a przybliżony 7,07 cm.
Jak obliczyć przekątną krok po kroku?
Do wykonania obliczenia potrzebujesz tylko długości boku kwadratu. Postępuj według następującej procedury:
- Odczytaj długość boku i oznacz ją jako a.
- Podstaw wartość do wzoru d = a√2.
- Pozostaw pierwiastek, jeśli potrzebujesz wyniku dokładnego.
- Pomnóż bok przez 1,41, jeśli potrzebujesz wyniku przybliżonego.
- Zaokrąglij wynik na końcu i zachowaj jednostkę długości.
Przykład dla kwadratu o boku 4 cm:
d = 4√2 cm
To wynik dokładny. Po przybliżeniu:
d ≈ 4 · 1,41 = 5,64 cm
Przy dokładniejszym przybliżeniu √2, czyli 1,4142, otrzymujemy 5,66 cm. Dlatego przy zaokrąglaniu do dwóch miejsc po przecinku należy najlepiej wykonać mnożenie z większą liczbą cyfr, a dopiero później zaokrąglić wynik.
Przekątna kwadratu – szybka tabela
Poniższe wartości pokazują wynik dokładny oraz przybliżony dla kilku długości boku:
| Bok (a) | Wynik dokładny | Wynik przybliżony |
|---|---|---|
| 1 | √2 | 1,41 |
| 2 | 2√2 | 2,83 |
| 3 | 3√2 | 4,24 |
| 4 | 4√2 | 5,66 |
| 5 | 5√2 | 7,07 |
| 10 | 10√2 | 14,14 |
Skąd bierze się wzór d = a√2?
Przekątna dzieli kwadrat na dwa przystające trójkąty prostokątne. Obie przyprostokątne mają długość a, a przeciwprostokątną jest przekątna d. Z twierdzenia Pitagorasa wynika więc:
a² + a² = d²
Po połączeniu składników otrzymujemy:
2a² = d²
Pierwiastkujemy obie strony równania:
d = √(2a²) = a√2
Właśnie dlatego przekątna jest około 1,414 razy dłuższa od boku. Nie należy mnożyć boku przez 2, ponieważ √2 nie jest równe 2.
Gdzie przydaje się obliczanie przekątnej?
Wzór można wykorzystać między innymi podczas:
- wyznaczania przekątnej płytki, panelu lub elementu o kwadratowym kształcie,
- sprawdzania wymiarów pomieszczenia podczas budowy i remontu,
- projektowania ekranów, ramek, plansz i innych kwadratowych elementów,
- majsterkowania, gdy trzeba dopasować element do przeciwległych narożników.
Najważniejsza zależność jest prosta: d = a√2. Wynik z pierwiastkiem zachowuje dokładność, natomiast przybliżenie dziesiętne ułatwia pomiary i obliczenia praktyczne.
