Jak obliczyć współczynnik korelacji Pearsona?
Współczynnik korelacji Pearsona oblicza się, dzieląc kowariancję dwóch zmiennych przez iloczyn ich odchyleń standardowych. W praktyce trzeba wyznaczyć średnie, odchylenia każdej obserwacji od średniej, iloczyny tych odchyleń oraz ich kwadraty. Wynik zawsze mieści się w przedziale od -1 do 1 i opisuje wyłącznie zależność liniową.
Czym jest współczynnik korelacji Pearsona?
Współczynnik korelacji Pearsona, oznaczany symbolem r, mierzy siłę i kierunek liniowej zależności między dwiema zmiennymi ilościowymi. Dodatnia wartość oznacza, że wzrostowi jednej zmiennej zwykle towarzyszy wzrost drugiej. Wartość ujemna wskazuje na przeciwny kierunek zmian.
Współczynnik bliski zeru oznacza brak wyraźnej zależności liniowej. Nie wyklucza jednak zależności nieliniowej. Na przykład związek w kształcie litery U może być silny, a mimo to dawać wartość r bliską zeru.
Wzór na współczynnik Pearsona
Najwygodniejszy przy ręcznych obliczeniach jest wzór:
r = Σ[(xi − x̄)(yi − ȳ)] / √[Σ(xi − x̄)2 · Σ(yi − ȳ)2]
Poszczególne symbole oznaczają:
- r – współczynnik korelacji Pearsona
- xi i yi – wartości obu zmiennych dla i-tej obserwacji
- x̄ i ȳ – średnie arytmetyczne zmiennych X i Y
- Σ – sumowanie wartości dla wszystkich obserwacji
- (xi − x̄)(yi − ȳ) – składnik kowariancji, który tworzy licznik wzoru
Ten zapis jest równoważny formule r = cov(X,Y) / (σX · σY). Kowariancja pokazuje, czy odchylenia obu zmiennych od średnich mają zwykle ten sam, czy przeciwny znak. Odchylenia standardowe normalizują wynik, dzięki czemu korelacja pozostaje w zakresie od -1 do 1.
Jak obliczyć współczynnik krok po kroku?
Załóżmy, że badamy zależność między liczbą godzin nauki a wynikiem testu. Oto sześć par obserwacji:
| Obserwacja | X – godziny nauki | Y – wynik testu |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 50 |
| 2 | 2 | 55 |
| 3 | 3 | 65 |
| 4 | 4 | 70 |
| 5 | 5 | 80 |
| 6 | 6 | 85 |
- Oblicz średnie arytmetyczne obu zmiennych.
- Wyznacz różnicę każdej wartości od odpowiedniej średniej.
- Pomnóż przez siebie oba odchylenia.
- Podnieś każde odchylenie do kwadratu.
- Podstaw sumy do wzoru na współczynnik Pearsona.
Średnie wynoszą:
x̄ = 3,5 oraz ȳ = 67,5.
Po odjęciu średnich, wymnożeniu odchyleń i obliczeniu kwadratów otrzymujemy:
| X | Y | X − x̄ | Y − ȳ | Iloczyn odchyleń | (X − x̄)2 | (Y − ȳ)2 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 50 | -2,5 | -17,5 | 43,75 | 6,25 | 306,25 |
| 2 | 55 | -1,5 | -12,5 | 18,75 | 2,25 | 156,25 |
| 3 | 65 | -0,5 | -2,5 | 1,25 | 0,25 | 6,25 |
| 4 | 70 | 0,5 | 2,5 | 1,25 | 0,25 | 6,25 |
| 5 | 80 | 1,5 | 12,5 | 18,75 | 2,25 | 156,25 |
| 6 | 85 | 2,5 | 17,5 | 43,75 | 6,25 | 306,25 |
| Suma | – | – | – | 127,5 | 17,5 | 937,5 |
Podstawiamy sumy do wzoru:
r = 127,5 / √(17,5 · 937,5) ≈ 0,996
Otrzymany wynik wskazuje na bardzo silną dodatnią zależność liniową. W tym zbiorze danych osoby uczące się dłużej uzyskiwały zwykle wyższe wyniki testu.
Jak interpretować wynik?
Wartość bezwzględna współczynnika mówi o sile związku, a jego znak o kierunku. Orientacyjna interpretacja może wyglądać następująco:
- r bliskie 1 – bardzo silna dodatnia zależność liniowa
- r bliskie 0 – brak wyraźnej zależności liniowej
- r bliskie -1 – bardzo silna ujemna zależność liniowa
- |r| około 0,3–0,5 – zależność słaba lub umiarkowana
- |r| powyżej 0,7 – zwykle zależność silna, choć granice zależą od dziedziny i jakości danych
Progi nie są uniwersalnym prawem. W naukach ścisłych, społecznych i medycznych ta sama wartość może mieć inne znaczenie. Sama korelacja nie dowodzi też związku przyczynowo-skutkowego. Wysokie r może wynikać z wpływu trzeciej zmiennej albo z przypadkowego układu danych.
Kiedy stosować korelację Pearsona?
Przed obliczeniem wyniku sprawdź, czy dane spełniają podstawowe warunki:
- obie zmienne są ilościowe lub metryczne
- zależność między nimi ma w przybliżeniu charakter liniowy
- obserwacje są niezależne, jeśli wynik ma służyć do wnioskowania statystycznego
- nie występują pojedyncze wartości odstające, które mogłyby sztucznie zmienić wynik
- przy testowaniu istotności zależności rozkład danych powinien być zbliżony do dwuwymiarowego rozkładu normalnego
Dobrym etapem kontroli jest wykres rozrzutu. Pozwala zobaczyć, czy punkty układają się w przybliżeniu wzdłuż prostej i czy nie ma obserwacji odstających. Gdy dane są porządkowe, silnie asymetryczne albo zależność nie jest liniowa, można rozważyć korelację rang Spearmana.
Jeżeli chcesz ocenić, czy uzyskane r różni się istotnie od zera w populacji, potrzebujesz osobnego testu statystycznego, najczęściej testu t. Samo obliczenie współczynnika opisuje próbę, ale nie rozstrzyga jeszcze o istotności wyniku.
Najważniejsza procedura sprowadza się więc do obliczenia średnich, odchyleń, iloczynów i kwadratów odchyleń, a następnie podstawienia ich sum do wzoru. Dzięki temu można prześledzić nie tylko końcową wartość r, lecz także sposób, w jaki powstała.
