Jak obliczyć przekątną rombu? Wzory i przykłady obliczeń
Przekątną rombu obliczysz różnymi sposobami, zależnie od danych w zadaniu. Najczęściej stosuje się wzór na pole rombu, twierdzenie Pitagorasa albo funkcje trygonometryczne. Oznaczmy przekątne przez e i f, a bok rombu przez a.
Wzory na przekątną rombu
Wybierz metodę odpowiadającą informacjom podanym w zadaniu:
| Dane wejściowe | Wzór lub metoda | Uwagi |
|---|---|---|
| Pole P i jedna przekątna | f = 2P / e albo e = 2P / f | Wynika ze wzoru P = (e · f) / 2. |
| Bok a i kąt α | e = a√(2 + 2cos α), f = a√(2 − 2cos α) | Wzory pozwalają obliczyć obie przekątne. Kąt α jest kątem wewnętrznym rombu. |
| Bok a i druga przekątna | e = √(4a² − f²) albo f = √(4a² − e²) | Stosuje się twierdzenie Pitagorasa. Przekątne trzeba najpierw podzielić na połowy. |
Jeśli znasz pole i jedną przekątną, wystarczy przekształcić wzór na pole. Gdy znasz bok i drugą przekątną, przydatny jest trójkąt prostokątny utworzony wewnątrz rombu.
Jak obliczyć przekątną z twierdzenia Pitagorasa?
Przekątne rombu przecinają się pod kątem prostym i dzielą się wzajemnie na połowy. Po połączeniu połowy jednej przekątnej, połowy drugiej przekątnej oraz boku rombu otrzymujemy trójkąt prostokątny.
Jego przyprostokątne mają długości e/2 i f/2, a przeciwprostokątną jest bok a. Dlatego:
(e/2)² + (f/2)² = a²
Obliczenia można przeprowadzić w następującej kolejności:
- Wybierz trójkąt prostokątny – jego przyprostokątne to połowy przekątnych, czyli e/2 i f/2.
- Podstaw dane do twierdzenia Pitagorasa – zapisz równanie (e/2)² + (f/2)² = a².
- Przekształć równanie – jeśli szukasz e, otrzymasz e = √(4a² − f²).
- Sprawdź wynik – długość przekątnej musi być dodatnia, a pod pierwiastkiem powinna znajdować się liczba nieujemna.
Najczęstszy błąd polega na podstawieniu całych przekątnych zamiast ich połówek. Zapis e² + f² = a² jest w tym przypadku niepoprawny. Prawidłowa zależność to (e/2)² + (f/2)² = a².
Przykład obliczenia przekątnych z pola
Oblicz przekątne rombu, którego pole wynosi 24 cm², a jedna przekątna jest o 2 cm dłuższa od drugiej.
Niech krótsza przekątna będzie równa e. Wtedy dłuższa ma długość f = e + 2. Korzystamy ze wzoru na pole:
P = (e · f) / 2
Podstawiamy dane:
24 = e(e + 2) / 2
Najpierw mnożymy obie strony przez 2:
48 = e(e + 2)
Po wymnożeniu nawiasu otrzymujemy równanie:
e² + 2e − 48 = 0
Równanie rozkłada się na czynniki:
(e − 6)(e + 8) = 0
Możliwe rozwiązania to e = 6 lub e = −8. Długość nie może być ujemna, więc e = 6 cm. Druga przekątna wynosi:
f = e + 2 = 6 + 2 = 8 cm
Przekątne rombu mają długości 6 cm i 8 cm. Sprawdzenie: (6 · 8) / 2 = 24 cm², więc wynik zgadza się z podanym polem.
