Delta – jak obliczyć ją w równaniu kwadratowym?
Delta, czyli wyróżnik trójmianu kwadratowego, oblicza się ze wzoru Δ = b² − 4ac. Najpierw trzeba doprowadzić równanie do postaci ax² + bx + c = 0, a następnie odczytać współczynniki a, b i c.
Jak obliczyć deltę krok po kroku?
Delta służy do określenia liczby rozwiązań równania kwadratowego. W równaniu zapisanym w postaci ogólnej:
ax² + bx + c = 0
litery oznaczają współczynniki: a stoi przy x², b przy x, a c jest wyrazem wolnym. Współczynnik a nie może być równy zero, ponieważ wtedy równanie nie byłoby kwadratowe.
Obliczenia wykonuj w następującej kolejności:
- Doprowadź równanie do postaci ogólnej ax² + bx + c = 0. Wszystkie wyrazy przenieś na jedną stronę, pamiętając o zmianie znaków.
- Wypisz współczynniki a, b i c. Jeżeli przed x² lub x nie ma liczby, przyjmij, że znajduje się tam 1.
- Podstaw współczynniki do wzoru Δ = b² − 4ac.
- Oblicz wartość delty, zachowując kolejność działań i nawiasy przy liczbach ujemnych.
- Oblicz miejsca zerowe, jeśli delta jest nieujemna. Najpierw wyznacz √Δ, a potem skorzystaj ze wzorów na x₁ i x₂.
Wzory na miejsca zerowe równania kwadratowego są następujące:
x₁ = (−b − √Δ) / 2a
x₂ = (−b + √Δ) / 2a
Jeżeli delta jest równa zero, oba wzory dają ten sam wynik. Wtedy można użyć krótszego wzoru:
x₀ = −b / 2a
Co oznacza wynik delty?
Wartość delty informuje, ile rozwiązań rzeczywistych ma równanie kwadratowe:
| Wartość delty | Liczba rozwiązań | Dalsze działanie |
|---|---|---|
| Δ > 0 | Dwa rozwiązania | Oblicz √Δ, a następnie x₁ i x₂. |
| Δ = 0 | Jedno rozwiązanie | Oblicz x₀ = −b / 2a. |
| Δ < 0 | Brak rozwiązań rzeczywistych | Nie oblicza się rzeczywistego pierwiastka z delty. |
Przykład obliczenia delty
Rozwiążmy równanie:
x² − 5x + 6 = 0
Równanie ma już postać ogólną. Odczytujemy więc współczynniki:
a = 1, b = −5, c = 6
Podstawiamy je do wzoru na deltę:
Δ = b² − 4ac
Δ = (−5)² − 4 · 1 · 6
Δ = 25 − 24 = 1
Delta jest większa od zera, więc równanie ma dwa rozwiązania. Obliczamy pierwiastek:
√Δ = √1 = 1
Następnie wyznaczamy oba miejsca zerowe:
x₁ = (−b − √Δ) / 2a
x₁ = (−(−5) − 1) / (2 · 1) = (5 − 1) / 2 = 2
x₂ = (−b + √Δ) / 2a
x₂ = (−(−5) + 1) / (2 · 1) = (5 + 1) / 2 = 3
Rozwiązaniami równania są x₁ = 2 oraz x₂ = 3.
Na co uważać podczas obliczeń?
Najwięcej błędów wynika z niepoprawnego odczytania współczynników albo pominięcia nawiasów przy liczbach ujemnych. Zwróć uwagę na następujące sytuacje:
- Przy współczynniku b równym −5 wpisz do wzoru (−5)², a nie −5².
- Jeżeli przed x² nie ma liczby, przyjmij a = 1, ponieważ x² oznacza 1x².
- Jeżeli przed x nie ma samodzielnego wyrazu, współczynnik b wynosi 0, na przykład w równaniu x² − 4 = 0.
- Jeżeli nie ma wyrazu wolnego, współczynnik c wynosi 0, na przykład w równaniu x² − 3x = 0.
- Przed obliczeniem delty sprawdź, czy po prawej stronie równania znajduje się zero.
Gdy b = 0 lub c = 0, czasem da się rozwiązać równanie szybciej, na przykład przez wyłączenie x przed nawias. Delta pozostaje jednak uniwersalną metodą dla każdego równania kwadratowego zapisanego w postaci ogólnej.
