Kiedy przedział jest otwarty, a kiedy zamknięty?
Przedział jest otwarty, gdy jego końce nie należą do zbioru, a zamknięty, czyli domknięty, gdy należą do niego oba końce. Znaki ostre < i > oznaczają nawiasy okrągłe, natomiast znaki ≤ i ≥ – nawiasy kwadratowe. Przy nieskończoności zawsze stosuje się nawias otwarty.
Najważniejsza zasada
Spójrz na znak nierówności. Gdy przy liczbie krańcowej występuje znak ostry, ta liczba nie należy do rozwiązania. Gdy znak zawiera równość, liczba krańcowa należy do rozwiązania.
Przykłady:
- 2 < x < 5 oznacza przedział otwarty (2, 5).
- 2 ≤ x ≤ 5 oznacza przedział domknięty [2, 5].
- 2 ≤ x < 5 oznacza przedział lewostronnie domknięty [2, 5).
- 2 < x ≤ 5 oznacza przedział prawostronnie domknięty (2, 5].
Jak szybko rozpoznać rodzaj przedziału?
| Znak nierówności | Typ przedziału | Zapis nawiasowy | Oznaczenie na osi |
|---|---|---|---|
| < lub > | Otwarty | ( ) | Puste kółko |
| ≤ lub ≥ | Domknięty | [ ] | Zamalowane kółko |
| Jeden znak ostry i jeden nieostry | Jednostronnie domknięty | ( ] lub [ ) | Jedno kółko puste, drugie zamalowane |
| Nierówność z nieskończonością | Nieograniczony | (−∞, a] lub [a, +∞) | Strzałka na osi |
Co oznaczają nawiasy?
Nawias okrągły oznacza, że liczba stojąca przy tym końcu nie należy do przedziału. Dlatego zapis (2, 5) obejmuje liczby większe od 2 i mniejsze od 5, ale nie obejmuje samych 2 ani 5.
Nawias kwadratowy oznacza, że liczba krańcowa należy do przedziału. W zapisie [2, 5] znajdują się więc zarówno 2, jak i 5.
Na osi liczbowej odpowiada temu prosty obraz:
- Nawias okrągły oznacza puste kółko, ponieważ punkt nie należy do rozwiązania.
- Nawias kwadratowy oznacza zamalowane kółko, ponieważ punkt należy do rozwiązania.
- Przedział może mieć jeden koniec otwarty, a drugi domknięty, gdy nierówność zawiera różne rodzaje znaków.
Dlaczego przy nieskończoności zawsze jest nawias otwarty?
Nieskończoność nie jest konkretną liczbą, więc nie może należeć do przedziału. Z tego powodu przy symbolach −∞ i +∞ zawsze zapisujemy nawias okrągły.
Poprawne przykłady to:
- x < 3, czyli (−∞, 3).
- x ≤ 3, czyli (−∞, 3].
- x > 3, czyli (3, +∞).
- x ≥ 3, czyli [3, +∞).
Zapis [3, +∞] jest błędny, ponieważ nieskończoność nie może być końcem należącym do zbioru.
Nawias kwadratowy czy ostry?
W zapisie przedziału domkniętego spotyka się zarówno nawiasy kwadratowe, na przykład [2, 5], jak i nawiasy ostre, na przykład ⟨2, 5⟩. Oba zapisy mają to samo znaczenie matematyczne.
W materiałach i arkuszach CKE standardem są najczęściej nawiasy kwadratowe, dlatego podczas egzaminu najlepiej stosować zapis [ ]. Nie zmienia to jednak faktu, że nawiasy ostre mogą być uznawane za poprawne, jeśli są używane zgodnie z przyjętą konwencją.
Zapamiętaj: znak ostry oznacza nawias okrągły, znak z równością – nawias domknięty, a nieskończoność zawsze występuje z nawiasem otwartym.
