Jak obliczyć kowariancję? Poradnik krok po kroku
Kowariancję oblicza się jako średnią iloczynów odchyleń par wartości od ich średnich. Dla populacji stosuje się wzór cov(X,Y) = (1/n) Σ(Xᵢ − X̄)(Yᵢ − Ȳ), a dla próby dzieli się sumę przez n − 1.
Czym jest kowariancja i jaki ma wzór?
Kowariancja mierzy, jak dwie zmienne, oznaczane zwykle jako X i Y, zmieniają się względem swoich średnich. Dodatni wynik oznacza, że wartości obu zmiennych mają tendencję do wzrostu w tym samym kierunku, a ujemny – że wzrost jednej zmiennej wiąże się ze spadkiem drugiej.
Dla populacji wzór sumacyjny wygląda następująco:
cov(X,Y) = (1/n) Σ(Xᵢ − X̄)(Yᵢ − Ȳ)
Poszczególne symbole oznaczają:
- Xᵢ i Yᵢ – wartości X i Y w tej samej obserwacji
- X̄ i Ȳ – średnie arytmetyczne obu zmiennych
- n – liczbę obserwacji
- Σ – sumowanie iloczynów dla wszystkich par danych
Równoważny zapis wykorzystuje wartość oczekiwaną, czyli średnią w ujęciu probabilistycznym:
cov(X,Y) = E(XY) − E(X)E(Y)
W obliczeniach na próbie zamiast n stosuje się n − 1. To rozróżnienie ma znaczenie, ponieważ kowariancja populacyjna i kowariancja z próby są różnymi estymatorami.
Jak obliczyć kowariancję krok po kroku?
Obliczenia wykonuj w następującej kolejności:
- Oblicz średnią arytmetyczną wszystkich wartości X oraz średnią wszystkich wartości Y.
- Dla każdej pary danych oblicz odchylenie od odpowiedniej średniej.
- Pomnóż odchylenie wartości X przez odchylenie wartości Y.
- Zsumuj otrzymane iloczyny.
- Podziel sumę przez n dla populacji albo przez n − 1 dla próby.
Ważne jest, aby wartości X i Y pozostały sparowane. Nie wolno osobno sortować obu zbiorów, ponieważ każda para opisuje tę samą obserwację.
Przykład obliczenia kowariancji
Załóżmy, że analizujemy wzrost i wagę sześciu osób. W przykładzie potraktujemy dane jako całą populację.
| Osoba | Wzrost X | Waga Y | |
|---|---|---|---|
| 1 | 171 | 78 | |
| 2 | 184 | 77 | |
| 3 | 210 | 98 | |
| 4 | 198 | 110 | |
| 5 | 166 | 80 | |
| 6 | 167 | 69 |
Średnie wynoszą:
X̄ = 1096 / 6 = 182,67
Ȳ = 512 / 6 = 85,33
Następnie obliczamy odchylenia od średnich i ich iloczyny:
| Xᵢ − X̄ | Yᵢ − Ȳ | Iloczyn odchyleń |
|---|---|---|
| −11,67 | −7,33 | 85,56 |
| 1,33 | −8,33 | −11,11 |
| 27,33 | 12,67 | 346,22 |
| 15,33 | 24,67 | 378,67 |
| −16,67 | −5,33 | 88,89 |
| −15,67 | −16,33 | 255,89 |
| Suma | 1144,12 |
Kowariancja populacyjna wynosi więc:
cov(X,Y) = 1144,12 / 6 ≈ 190,69
Wynik można uzyskać również za pomocą wzoru skróconego. Iloczyny par wartości dają sumę 94 669, a zatem:
E(XY) = 94 669 / 6 = 15 778,17
Następnie:
cov(X,Y) = 15 778,17 − (182,67 × 85,33) ≈ 190,69
Różnica między wynikiem zaokrąglonym do 190,69 a wartościami spotykanymi w obliczeniach zaokrąglanych wcześniej wynika wyłącznie z przybliżeń średnich.
Co oznacza wynik kowariancji?
Interpretację znaku kowariancji można ująć następująco:
- Wynik dodatni oznacza, że wyższe wartości jednej zmiennej zwykle występują z wyższymi wartościami drugiej.
- Wynik ujemny wskazuje, że zmienne zmieniają się w przeciwnych kierunkach.
- Wynik bliski zeru sugeruje brak silnej zależności liniowej, ale nie wyklucza zależności nieliniowej.
- Duża wartość bezwzględna nie pozwala sama określić siły związku, ponieważ kowariancja zależy od jednostek obu zmiennych.
Dlatego do porównywania siły zależności częściej wykorzystuje się korelację Pearsona. Jest ona kowariancją podzieloną przez iloczyn odchyleń standardowych:
r = cov(X,Y) / (σXσY)
Korelacja Pearsona jest bezwymiarowa i przyjmuje wartości od −1 do 1, dzięki czemu łatwiej ocenić siłę liniowego związku. Sama kowariancja informuje przede wszystkim o kierunku wspólnej zmienności oraz o jej skali zależnej od jednostek pomiaru.
Najważniejsza zasada jest prosta: oblicz średnie, znajdź odchylenia każdej pary, pomnóż je, zsumuj i podziel przez właściwy mianownik – n dla populacji albo n − 1 dla próby.
Artykuł ma charakter informacyjny i edukacyjny. Wnioski z analizy statystycznej należy dobierać do charakteru danych oraz przyjętego modelu badawczego.
