Jak obliczyć kwartyl? Poradnik krok po kroku
Kwartyle dzielą uporządkowany zbiór danych na cztery części. Aby je obliczyć dla zwykłej listy liczb, najpierw posortuj dane rosnąco, a następnie wyznacz pozycje Q1, Q2 i Q3. Kwartyl drugi, Q2, jest medianą.
Czym są kwartyle?
Kwartyl jest miarą pozycyjną, która pomaga opisać rozkład danych. Po uporządkowaniu obserwacji wskazuje wartości graniczne dla kolejnych części zbioru. Q1 oddziela dolne 25% obserwacji, Q2 dzieli dane na połowy, a Q3 wyznacza granicę, poniżej której znajduje się około 75% wartości.
| Kwartyl | Symbol | Znaczenie |
|---|---|---|
| Pierwszy | Q1 | Około 25% danych ma wartość mniejszą lub równą Q1. |
| Drugi | Q2 | Około 50% danych ma wartość mniejszą lub równą Q2. Q2 to mediana. |
| Trzeci | Q3 | Około 75% danych ma wartość mniejszą lub równą Q3. |
Jak obliczyć kwartyl krok po kroku?
Poniższa procedura dotyczy szeregu szczegółowego, czyli pojedynczej listy obserwacji, a nie danych pogrupowanych w przedziały. Obliczenia wykonuj w następującej kolejności:
- Uporządkuj dane rosnąco – zapisz wartości od najmniejszej do największej. Bez tego odczyt pozycji kwartyla będzie błędny.
- Policz liczbę obserwacji – oznacz ją symbolem n.
- Wyznacz pozycję kwartyla – dla często stosowanej konwencji użyj wzorów:
Q1: (n + 1) / 4
Q2: 2(n + 1) / 4
Q3: 3(n + 1) / 4 - Odczytaj wartość – znajdź liczbę znajdującą się na wyznaczonej pozycji. Jeśli pozycja wypada pomiędzy dwiema obserwacjami, zastosuj średnią arytmetyczną tych wartości, o ile taką regułę przyjmuje stosowana metoda.
Wzory wskazują pozycję w uporządkowanym szeregu, a nie samą wartość kwartyla. Trzeba więc odróżnić numer miejsca od liczby zapisanej na tym miejscu.
Przykład obliczenia kwartylu
Weźmy siedem obserwacji: 10, 3, 8, 2, 6, 5, 4.
Najpierw sortujemy dane:
2, 3, 4, 5, 6, 8, 10
Liczebność zbioru wynosi n = 7. Pozycje kwartyli obliczamy tak:
- Q1: (7 + 1) / 4 = 2, więc Q1 znajduje się na drugiej pozycji i wynosi 3.
- Q2: 2(7 + 1) / 4 = 4, więc Q2 znajduje się na czwartej pozycji i wynosi 5.
- Q3: 3(7 + 1) / 4 = 6, więc Q3 znajduje się na szóstej pozycji i wynosi 8.
Wynik to Q1 = 3, Q2 = 5 i Q3 = 8. W tym przykładzie Q2 jest medianą, ponieważ pośrodku siedmioelementowego szeregu znajduje się czwarta wartość.
Interpretacja jest następująca:
- Q1 = 3 oznacza, że około 25% obserwacji ma wartość nie większą niż 3.
- Q2 = 5 oznacza, że około połowa obserwacji ma wartość nie większą niż 5.
- Q3 = 8 oznacza, że około 75% obserwacji ma wartość nie większą niż 8.
Co zrobić, gdy pozycja kwartyla nie jest całkowita?
Przy parzystej liczbie danych pozycja kwartyla może wypaść pomiędzy dwiema wartościami. Załóżmy, że uporządkowany szereg wygląda tak: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16. Dla Q1 wzór daje pozycję 2,25. Taki wynik nie wskazuje jednej obserwacji, dlatego stosuje się interpolację, czyli wyznacza wartość pomiędzy drugą a trzecią liczbą. W niektórych szkolnych metodach kwartyl wyznacza się natomiast jako medianę dolnej połowy zbioru.
Nie istnieje jedna identyczna konwencja używana we wszystkich podręcznikach i programach. Różnice są szczególnie widoczne przy nieparzystej liczbie obserwacji. Jedna metoda nie włącza mediany do żadnej z dwóch części, a inna uwzględnia ją w obu podzbiorach. Dlatego przy zadaniu z jasno podaną metodą należy stosować właśnie tę regułę.
W przypadku szeregu rozdzielczego przedziałowego, gdy dane są zgrupowane na przykład w przedziały 10–20 i 20–30, kwartyle wyznacza się innymi wzorami interpolacyjnymi. Tego sposobu nie należy mieszać z obliczeniami dla pojedynczej listy liczb.
Najważniejsza zasada brzmi: najpierw uporządkuj dane, potem policz ich liczebność i dopiero wyznacz pozycję Q1, Q2 lub Q3. Dzięki temu kwartyle pokazują, jak wartości rozkładają się w dolnej, środkowej i górnej części zbioru.
