Jak obliczyć maksimum i minimum funkcji?

Data publikacji: 2026-08-19

Aby obliczyć maksimum lub minimum lokalne funkcji, wyznacz jej pochodną, znajdź punkty, w których pochodna jest równa zero albo nie istnieje, a następnie sprawdź zmianę jej znaku. Zmiana z „+” na „–” oznacza maksimum, a z „–” na „+” – minimum.

O czym mówi ekstremum funkcji?

Ekstremum lokalne to punkt przypominający górkę albo dołek na wykresie. W maksimum funkcja przestaje rosnąć i zaczyna maleć. W minimum przestaje maleć i zaczyna rosnąć.

Pochodna funkcji informuje o jej zachowaniu: gdy jest dodatnia, funkcja rośnie, a gdy ujemna – maleje. Dlatego analiza znaku pochodnej pozwala znaleźć ekstrema bez rysowania wykresu.

Co sprawdzić przed obliczeniami?

Przed rozpoczęciem rachunków przygotuj podstawowe informacje o funkcji:

Dziedzina funkcji – sprawdź, dla jakich wartości x wzór ma sens.
Ciągłość funkcji – punkt, w którym funkcja nie jest określona, nie może być jej ekstremum.
– upewnij się, że poprawnie zapisujesz wszystkie składniki.

Jak obliczyć maksimum i minimum funkcji krok po kroku?

Procedura wyznaczania ekstremów lokalnych wygląda następująco:

Wyznacz dziedzinę funkcji.
Oblicz pochodną f′(x).
Rozwiąż równanie f′(x) = 0.
Sprawdź także punkty dziedziny, w których pochodna nie istnieje, jeśli funkcja jest tam ciągła.
Podziel dziedzinę na przedziały wyznaczone przez znalezione punkty.
Zbadaj znak pochodnej na każdym z tych przedziałów.
Rozpoznaj rodzaj ekstremum na podstawie zmiany znaku pochodnej.

Samo równanie f′(x) = 0 wskazuje tylko kandydatów na ekstrema. Nie każde miejsce zerowe pochodnej jest maksimum lub minimum. O rodzaju punktu decyduje dopiero zachowanie funkcji po jego lewej i prawej stronie.

Jak interpretować znak pochodnej?

Najważniejsze przypadki można odczytać z tabeli:

Zmiana znaku pochodnej	Zachowanie funkcji	Rodzaj ekstremum
f′(x) > 0, następnie f′(x) < 0	Funkcja rośnie, a potem maleje	Maksimum lokalne
f′(x) < 0, następnie f′(x) > 0	Funkcja maleje, a potem rośnie	Minimum lokalne
Ten sam znak po obu stronach punktu	Funkcja zachowuje ten sam trend	Brak ekstremum

Jeżeli pochodna ma ten sam znak po obu stronach punktu, funkcja nie tworzy tam górki ani dołka. Może to być na przykład punkt przegięcia.

Przykład: ekstrema funkcji f(x) = x³ − 3x

Wyznaczmy ekstrema lokalne funkcji:

f(x) = x³ − 3x

Krok 1. Dziedzina

Jest to wielomian, więc jego dziedziną są wszystkie liczby rzeczywiste: D_f = ℝ.

Krok 2. Pochodna

f′(x) = 3x² − 3

Krok 3. Miejsca zerowe pochodnej

Przyrównujemy pochodną do zera:

3x² − 3 = 0

3x² = 3

x² = 1

x = −1 lub x = 1

Punkty x = −1 i x = 1 są kandydatami na ekstrema. Dzielą dziedzinę na trzy przedziały:

(−∞, −1)
(−1, 1)
(1, +∞)

Krok 4. Znak pochodnej

Dla x = −2 otrzymujemy f′(−2) = 9, więc pochodna jest dodatnia na pierwszym przedziale. Funkcja rośnie.

Dla x = 0 otrzymujemy f′(0) = −3, więc pochodna jest ujemna na drugim przedziale. Funkcja maleje.

Dla x = 2 otrzymujemy f′(2) = 9, więc pochodna jest dodatnia na trzecim przedziale. Funkcja rośnie.

Zmiana znaków wygląda więc tak:

+ → − → +

Krok 5. Wniosek

W punkcie x = −1 funkcja przechodzi z rosnącej w malejącą, dlatego ma tam maksimum lokalne. Wartość tego maksimum wynosi:

f(−1) = (−1)³ − 3(−1) = −1 + 3 = 2

W punkcie x = 1 funkcja przechodzi z malejącej w rosnącą, dlatego ma tam minimum lokalne. Wartość minimum wynosi:

f(1) = 1³ − 3(1) = 1 − 3 = −2

Zatem funkcja ma maksimum lokalne w punkcie (−1, 2) oraz minimum lokalne w punkcie (1, −2).

Ekstremum lokalne a wartość największa i najmniejsza

Ekstremum lokalne opisuje zachowanie funkcji w niewielkim otoczeniu konkretnego punktu. Funkcja może mieć w takim miejscu górkę lub dołek, nawet jeśli w innej części dziedziny osiąga jeszcze większą albo mniejszą wartość.

Wartość największa lub najmniejsza w całym rozpatrywanym zbiorze ma charakter globalny. Aby znaleźć takie wartości w przedziale domkniętym [a, b], trzeba sprawdzić nie tylko punkty, w których f′(x) = 0, lecz także końce przedziału.

Procedura dla przedziału [a, b] obejmuje więc:

wyznaczenie punktów krytycznych należących do przedziału,
obliczenie wartości funkcji w tych punktach,
obliczenie f(a) i f(b),
porównanie wszystkich otrzymanych wartości.

Największa z nich jest wartością największą funkcji na przedziale, a najmniejsza – wartością najmniejszą. Końce przedziału mogą dawać takie wartości nawet wtedy, gdy pochodna nie jest tam równa zero.

Najważniejszy schemat jest prosty: dziedzina → pochodna → punkty krytyczne → znaki pochodnej → rodzaj ekstremum. Dzięki temu można wyznaczać maksima i minima lokalne bez opierania się wyłącznie na wykresie.